Элементы квантовой механики
· Длина волны де Бройля
,
где – постоянная Планка,
– импульс частицы.
· Связь импульса релятивистской частицы с кинетической энергией
,
где m – масса частицы, - кинетическая энергия.
· При малых скоростях .
· Соотношение неопределенностей Гейзенберга
,
где ,
- соответственно неопределенности координаты, импульса, энергии и времени,
.
· Уравнение Шредингера:
- нестационарное (общее);
- стационарное;
- стационарное для линейного гармонического осциллятора,
- стационарное для кулоновского поля;
- стационарное для электрона в атоме водорода;
- стационарное для свободной частицы в трёхмерном пространстве;
- стационарное для свободной частицы в одномерной потенциальной яме ,
где – волновая функция микрочастицы,
- координатная составляющая волновой функции,
- полная энергия микрочастицы,
- потенциальная энергия частицы,
- пространственная координата, t – время,
- оператор Лапласа (записан в декартовых координатах),
– масса микрочастицы,
– постоянная Планка,
=
- мнимая единица.
· Условие нормировки волновой функции
.
· Плотности вероятности
,
где – вероятность того, что частица может быть обнаружена вблизи точки с координатой
на участке
,
- вероятность обнаружения микрочастицы в объёме
.
· Вероятность обнаружения частицы в интервале от х1 до х2
.
· Решение уравнения Шредингера для одномерного, бесконечно глубокого, прямоугольного потенциального ящика шириной
(0 ≥ x ≥
)
(собственная нормированная волновая функция)
(собственное значение энергии),
где – главное квантовое число (
= 1, 2, 3,…). В области 0 ≥ x ≥
= ∞ и
= 0.
· Коэффициент прозрачности (коэффициент прохождения) прямоугольного потенциального барьера
,
где - постоянный коэффициент, близкий к единице,
- масса частицы,
- высота потенциального барьера,
- энергия частицы,
- ширина барьера.
· Энергия квантового осциллятора
,
где – главное квантовое число (
= 0, 1, 2,…),
- циклическая частота.
· Для частиц с целочисленными спинами (бозонов) справедлива статистика Бозе-Эйнштейна, а для частиц с полуцелыми спинами (фермионов) справедлива статистика Ферми-Дирака. Обобщенное уравнение для квантовых статистик
,
где - среднее число частиц в состоянии с номером
,
- энергия частицы в этом состоянии;
– так называемый химический потенциал, определяемый из условия
, т. е. сумма всех частиц равна полному числу
частиц в системе, знак минус (-) перед единицей в знаменателе соответствует статистике бозонов (распределению Бозе-Эйнштейна, а знак плюс (+) соответствует статистике фермионов (распределению Ферми - Дирака).