Задачи экономического содержания

8.1. На фирме работают 8 аудиторов, из которых 3 – высо­кой квалификации и 5 программистов, из которых 2 – высо­кой квалификации. В командировку надо отпра­вить группу из 3 аудиторов и 2 программистов. Какова вероят­ность того, что в этой группе окажется по край­ней мере 1 аудитор высокой квалификации и хотя бы один програм­мист высокой квалификации, если каж­дый специалист имеет равные возможности поехать в командировку?

8.2. В большой рекламной фирме 21% работников полу­чают высокую заработную плату. Известно так же, что 40% работников фирмы женщины, а 6,4% работников- жен­щины, получающие высокую заработную плату. Можем ли мы утверждать, что на фирме существует дискримина­ция женщин по оплате труда?

8.3. вероятность того, что потребитель увидит рекламу оп­ре­деленного продукта по телевидению, равна 0,04. ве­роят­ность того, что потребитель увидит рекламу того же про­дукта на рекламном стенде равна 0,06. Предпо­лагается, что оба события – независимы. Чему равна вероятность того, что потребитель увидит: а) обе рек­ламы; б) хотя бы одну?

8.4. Модельер, разрабатывающий новую коллекцию оде­жды к весеннему сезону, создает модели в зеленой, черной и красной цветовой гамме. вероятность того, что зеленый цвет будет в моде весной, модельер оце­нивает в 0,3, что черный – 0,2, а красный – 0,15. Пред­полагается, что цвета выбираются независимо друг от друга, оцените вероятность того, что цветовое решение коллекции будет удачным хотя бы по одному из вы­бранных цветов.

8.5. Экономист полагает, что вероятность роста стоимости акций некоторой компании в следующем году будет равна 0,75, если экономика страны будет на подъеме, и

эта же вероятность будет равна 0,3, если экономика страны не будет успешно развиваться. по его мнению, вероятность экономического подъема в новом году равна 0,08. Используя предположения экономиста, оцените вероятность того, что акции компании подни­мутся в цене в следующем году.

8.6. Экономист-аналитик условно подразделяет экономиче­скую ситуацию на "хорошую", "посредственную" и "плохую" и оценивает их вероятности для данного мо­мента времени в 0,15; 0,7 и 0,15 соответственно. Неко­то­рый индекс экономического состояния возрастает с веро­ятностью 0,6, когда ситуация "хорошая", с вероят­ностью 0,3, когда ситуация "посредственная", и с веро­ятностью 0,1, когда ситуация "плохая". Пусть в на­стоящий момент индекс экономического состояния возрос. Чему равна вероят­ность того, что экономика страны на подъеме?

8.7. Страховая компания разделяет застрахованных по клас­сам риска: I класс – малый риск, II класс – средний, III – большой риск. Среди этих клиентов 50%- первого класса риска, 30% – второго и 20% третьего. Вероят­ность необ­ходимости выплачивать страховое возна­граждение для первого класса риска равна 0,01; вто­рого – 0,03; третьего – 0,08. Какова вероятность того, что: а) застрахованный получит денежное вознаграж­дение за период страхова­ния; б) получивший денежное вознаграждение застрахо­ванный относится к группе малого риска?

8.8. Страховая компания заключает однотипные договоры, причем страховая премия составляет 1 млн. рублей, а при наступлении страхового случая компания должна выплатить 20 млн. рублей. Известно, что страховой случай наступает примерно в 4% случаев. Фирме уда­лось застраховать 500 клиентов. Какова вероятность того, что доход фирмы будет: а) 100 млн. рублей; б) более 100 млн. рублей?

8.9. Торговая фирма продала 1000 единиц товара, получая прибыль по 50 тыс. рублей с каждой единицы. Гаран­тийный ремонт фирма осуществляет своими силами и терпит при этом убыток – около 200 тыс. рублей. Найти границы, в которых с вероятностью 0,9545 будет заключен доход фирмы, если в среднем гарантийный ремонт приходится делать в каждом десятом случае.

8.10. После рекламной компании, проведенной в городе с на­селением 200 тыс. человек, строительная фирма, за­ни­мающаяся установкой летних коттеджей, получила 50 заявок. какова вероятность того, что в городе с на­селе­нием 20 тыс. человек число заявок будет не менее пяти?

8.11. В среднем 20% пакетов акций на аукционе продаются по первоначально заявленной цене. Найти вероятность того, что из 9 пакетов акций в результате торгов по за­явленной цене: 1) не будут проданы 5 пакетов; 2) будет продано: а) менее 2 пакетов; б) не более 2; в) хотя бы 2 пакета; г) наивероятнейшее число пакетов.

8.12. В страховой компании 10000 клиентов. Страховой взнос каждого клиента составляет 500 рублей. При на­ступлении страхового случая, вероятность которого по имеющимся данным и оценкам экспертов можно счи­тать 0,005, стра­ховая компания обязана выплатить кли­енту страховую сумму размером 50000 руб. На какую прибыль может рассчитывать страховая компания с на­дежностью 0,95?

8.13. В среднем по 15% договоров страховая компания вы­плачивает страховую сумму. Найти вероятность того, что из десяти договоров с наступлением страхового случая будет связано с выплатой страховой суммы: а) три договора; б) не менее двух договоров.

8.14. Предполагается, что 10% открывающихся малых пред­приятий прекращает свою деятельность в течение года. Какова вероятность того, что из шести малых предпри­ятий не более двух в течение года прекратят свою деятельность?

8.15.

У страховой компании имеются 10000 клиентов. Каж­дый из них, страхуясь от несчастного случая, вносит 500 руб­лей. Вероятность несчастного случая 0,0055, а страховая сумма, выплачиваемая пострадавшему, со­ставляет 50000 рублей. Какова вероятность того, что: а) страховая ком­пания потерпит убыток; б) на выплату страховых сумм уйдет более половины всех средств, поступавших от клиентов.

8.16. вероятность того, что дилер, торгующий ценными бу­магами, продаст их, равна 0,7. Сколько должно быть ценных бумаг, чтобы можно было утверждать с веро­ятностью 0,996, что доля проданных среди них откло­нится от 0,7 не более, чем на 0,04 (по абсолютной ве­личине)?

8.17. сделано два высокорисковых вклада: 20 млн. в компа­нию А и 18 млн. в компанию В. Компания А обещала 40% годовых, но может обанкротиться с вероятностью 0,3, компания В обещает 30% годовых, но может обан­кротиться с вероятностью 0,2. Составить закон распре­деления случайной величины – суммы вкладов, полу­ченных от двух компаний через год. Найти математи­ческое ожидание и дисперсию этой случайной вели­чины.

8.18. В среднем по 10% договоров страховая компания вы­пла­чивает страховые суммы в связи с наступлением страхо­вого случая. Составить закон распределения числа таких договоров среди наудачу выбранных четы­рех. Вычислить числовые характеристики этой случай­ной величины.

8.19. Клиенты банка, не связанные друг с другом, не возвра­щают кредиты в срок с вероятностью 0,1. Составить за­кон распределения числа возвращаемых в срок креди­тов из 5 выданных. Найти числовые характеристики этой случай­ной величины.

8.20. В рекламных целях торговая фирма вкладывает в каж­дую десятую единицу товара денежный приз размером 1000 рублей. Составить закон распределения случай­ной величины – размер выигрыша при пяти сделанных покупках. Найти числовые характеристики этой слу­чайной величины.

8.21. Найти закон распределения числа пакетов трех акций, по которым владельцам будет получен доход, если ве­роят­ность получения дохода по каждому из них равна соот­ветственно 0,5; 0,6; 0,7. Найти числовые характе­ристики этой случайной величины и построить функ­цию распре­деления.

8.22. Текущая цена акций может быть смоделирована с по­мощью нормального закона распределения с парамет­рами а = 15 ден.ед., s = 0,2 ден.ед. 1. Найти вероят­ность того, что цена акции: а) не выше 15,3 ден.ед.; б) не ниже 15,4 ден.ед.; в) от 14,9 до 15,3 ден.ед. 2. С помощью правил трех сигм найти границы, в которых будет находиться текущая цена акции.

8.23. Цена некой ценной бумаги нормально распределена. В течение последнего года 20% рабочих дней она была ниже 88 ден.ед.; а 75% – выше 90 ден.ед. Найти: а) ма­тематическое ожидание и СКО цены ценной бумаги; б) вероятность того, что в день покупки цена будет заклю­чена в пределах от 83 до 96 ден.ед.; в) с надежностью 0,95 определить максимальное отклонение цены цен­ной бумаги от среднего (прогнозного) значения (по аб­солютной величине).

8.24. Годовой доход лиц, подлежащих налогообложению (доход превышает уровень х₀), достаточно хорошо опи­сывается случайной величиной x, имеющей распреде­ление Парето: при х > x₀ > 0, а иначе F (x) = 0, где х₀, a > 3 – параметры. Найти плотность рас­пределения, математическое ожидание и дисперсию.

8.25. Рассматривается случайная точка , где x₁ – по­ставка сырья, x₂ – поступление требования на него. Из­вестно, что поступление сырья и поступление требова­ния на него могут произойти в любой день месяца (30 дней) с равной вероятностью. Определить: а) совмест­ную плот­ность и функцию распределения случайной точки ; б) плотности вероятности и функции распреде­ления составляющих x₁ и x₂; в) зависимы или независимы x₁ и x₂; г) вероятности того, что поставка сырья произой­дет до и после поступления требования.

8.26. Среднее изменение курса акций компании в течение одних биржевых торгов составит 1%, а среднее квадра­тическое отклонение оценивается как 0,5%. Оценить вероятность того, что на ближайших торгах курс изме­нится не более, чем на 2%. Задачу решить: а) с помо­щью леммы Чебышева; б) с помощью неравенства Че­бышева.

8.27. среднее изменение курса акций компании в течение одних биржевых торгов составляет 0,3%. Оценить ве­роятность того, что на ближайших торгах курс изме­нится более, чем на 3%.

8.28. Отделение банка обслуживает в среднем 100 клиентов в день. Оценить вероятность того, что сегодня в отде­лении банка будет обслужено: а) не более 200 клиен­тов; б) более 150 клиентов.

8.29. Вероятность того, что акции переданные на депозит, будут востребованы, равна 0,8. Оценить с помощью неравенства Чебышева вероятность того, что среди 1000 клиентов от 70 до 90 востребуют свои акции.

8.30. Опыт работы страховой компании показывает, что страховой случай приходится примерно на каждый пя­тый договор. Оценить с помощью неравенства Чебы­шева необходимое количество договоров, которые сле­дует заключить, чтобы с вероятностью 0,9 можно было утверждать, что доля для страховых случаев откло­нится от 0,1 не более, чем на 0,01 (по абсолютной ве­личине).