Закон распределения случайной точки непрерывного типа на плоскости

В непрерывном случае совместное распределение случайных величин x₁, x₂ не может быть задано (как и в случае одной непрерывной случайной величины x) таблицей, так как в этом случае вероятности отдельных реализаций случайной точки (x₁, x₂) равны нулю.

Совместное распределение задается, как и в случае одной случайной величины, двумя способами: с помощью функции распределения F(х,у) и плотности вероятности f(х,у).

Функция распределения случайной точки (x₁, x₂) определяется равенством

Плотность вероятности случайной точки (x₁, x₂) определяется равенством

y

Другими словами, плотность вероятности случайной точки (x₁, x₂) в точке (х,у) есть предел отношения вероятности попадания в заштрихованный прямоугольник (рис.22) к площади этого прямоугольника при условии, что прямоугольник стягивается к точке (х,у). Нестрого говоря, плотность вероятности случайной точки – вероятность попадания на участок с площадью единица.

Перечислим без доказательства основные свойства плотности вероятности f(х,у) (первые 4 из них аналогичны свойствам плотности вероятности f(х) одной непрерывной случайной величины, 5-е и 6-е указывают связь закона распределения случайной точки (x₁, x₂) с законами распределения ее координат).

1⁰. f (x, y) ≥ 0;

2⁰. Вероятность попадания случайной точки в любую область D на плоскости дается формулой

P ((x₁, x₂) Î D) = .

3⁰. Объем фигуры, заключенной между плоскостью хОу и графиком плотности (рис.23), равен единице: V = 1.

4⁰. .

5⁰. Законы распределения координат случайной точки (x₁,x₂) восстанавливаются по совместному закону распределения по формулам

, (20)

6⁰. Совместный закон распределения восстанав-ливается по законам распределения координат только в случае, когда x₁, x₂ независимы. В этом случае верна формула

(21)

Последнее равенство является необходимым и достаточным условием независимости x₁, x₂.

Отметим, что функция распределения F(х,у) имеет смысл и в дискретном случае. В непрерывном случае при изучении совместных свойств случайных величин, как правило, удобнее пользоваться плотностью вероятности f(х,у).

Пример. Случайная точка (x₁, x₂) равномерно распреде­лена в треугольнике со сторонами: х = 0, y = 0, x + y = 3.

Найти: совместную плотность f(x,y), плотности вероятности f₁(x), f₂(y) слу­чайных величин x₁, x₂. Проверить зависимы x₁ и x₂ или нет.

Решение. Так как случайная точка (x₁, x₂) равномерно

распределена в треугольнике AOB (рис. 24), то f (x, y) = const для точек из D_АОВ. Тогда, используя свойство 3⁰, имеем

S_осн · h = 1, следовательно

· h = 1, откуда h = и

По формулам (20) находим:

.

Если х Ï [0, 3], то f (x, y)=0 (рис.25) и, следовательно, f₁ (x) = 0.

Если хÎ [0,3], то f (x, y) = , откуда .

Окончательно,

аналогично,

Так как f₁(x) · f₂ (y) ¹ const, то равенство (21) не выполняется, следовательно x₁, x₂ статистически зависимы.