Закон распределения случайной точки непрерывного типа на плоскости
В непрерывном случае совместное распределение случайных величин x1, x2 не может быть задано (как и в случае одной непрерывной случайной величины x) таблицей, так как в этом случае вероятности отдельных реализаций случайной точки (x1, x2) равны нулю.
|
Функция распределения случайной точки (x1, x2) определяется равенством
Плотность вероятности случайной точки (x1, x2) определяется равенством
|
Другими словами, плотность вероятности случайной точки (x1, x2) в точке (х,у) есть предел отношения вероятности попадания в заштрихованный прямоугольник (рис.22) к площади этого прямоугольника при условии, что прямоугольник стягивается к точке (х,у). Нестрого говоря, плотность вероятности случайной точки – вероятность попадания на участок с площадью единица.
Перечислим без доказательства основные свойства плотности вероятности f(х,у) (первые 4 из них аналогичны свойствам плотности вероятности f(х) одной непрерывной случайной величины, 5-е и 6-е указывают связь закона распределения случайной точки (x1, x2) с законами распределения ее координат).
10. f (x, y) ≥ 0;
20. Вероятность попадания случайной точки в любую область D на плоскости дается формулой
P ((x1, x2) Î D) = .
30. Объем фигуры, заключенной между плоскостью хОу и графиком плотности (рис.23), равен единице: V = 1.
40. .
50. Законы распределения координат случайной точки (x1,x2) восстанавливаются по совместному закону распределения по формулам
, (20)
60. Совместный закон распределения восстанав-ливается по законам распределения координат только в случае, когда x1, x2 независимы. В этом случае верна формула
(21)
Последнее равенство является необходимым и достаточным условием независимости x1, x2.
Отметим, что функция распределения F(х,у) имеет смысл и в дискретном случае. В непрерывном случае при изучении совместных свойств случайных величин, как правило, удобнее пользоваться плотностью вероятности f(х,у).
Пример. Случайная точка (x1, x2) равномерно распределена в треугольнике со сторонами: х = 0, y = 0, x + y = 3.
Найти: совместную плотность f(x,y), плотности вероятности f1(x), f2(y) случайных величин x1, x2. Проверить зависимы x1 и x2 или нет.
Решение. Так как случайная точка (x1, x2) равномерно
распределена в треугольнике AOB (рис. 24), то f (x, y) = const для точек из DАОВ. Тогда, используя свойство 30, имеем
Sосн · h = 1, следовательно
· h = 1, откуда h = и
По формулам (20) находим:
.
Если х Ï [0, 3], то f (x, y)=0 (рис.25) и, следовательно, f1 (x) = 0.
Если хÎ [0,3], то f (x, y) = , откуда .
Окончательно,
аналогично,
Так как f1(x) · f2 (y) ¹ const, то равенство (21) не выполняется, следовательно x1, x2 статистически зависимы.