Для студентов направления подготовки «Экономика» ДонГАУ
Министерство сельского хозяйства Российской Федерации
Департамент научно-технологической политики и образования
Донской государственный аграрный университет
Е.М. Демьян, А.Г. Мокриевич
ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА
Учебное пособие для самостоятельной работы
Пос. Персиановский
УДК 51
ББК 22.11
Рецензенты: А. И. Тариченко доктор с.-х. наук, профессор, зав кафедрой ТТЭ; В.К. Шаршак доктор техн. наук, профессор кафедры МОППП.
Демьян Е.М., Мокриевич А.Г. Линейная алгебра. Учебное пособие для самостоятельной работы. – пос. Персиановский, Донской ГАУ. - 65с.
В пособии приведена рабочая программа дисциплины «Линейная алгебра», методы и примеры выполнения типовых заданий, вопросы для самопроверки и задания для самостоятельного решения, примеры выполнения тестовых заданий Интернет – экзамена, тестовые задания для самостоятельного решения, список литературы.
Пособие предназначено для студентов направления подготовки 080100.62
«Экономика».
Библиография – 6 наименований.
Утверждено на методической комиссии
экономическогофакультета
(протокол № от ).
Рекомендовано к изданию методическим советом
Донского ГАУ (протокол № от ).
Ó Донской государственный
аграрный университет, 2012
Ó Коллектив составителей, 2012
Оглавление
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Предисловие
Настоящее пособие разработано на основании Государственного образовательного стандарта (ГОС) Высшего профессионального образования (ВПО) РФ, учебного плана Дон ГАУ и рабочей программы по курсу «Линейная алгебра». Рабочая программа по дисциплине «Линейная алгебра» для студентов направления подготовки «Экономика» рассмотрена на заседаниях кафедры высшей математики и физики, методической комиссии экономического факультета, методического совета Дон ГАУ и утверждена проректором по учебной работе Дон ГАУ профессором
И.В. Фетюхиным.
Основной формой обучения студентов – заочников является самостоятельная работа над учебным материалом. Для студентов очного обучения самостоятельная работа также является важной формой обучения. Данное пособие содержит основные документы, образцы выполнения типовых заданий и указания, необходимые студентам для самостоятельного выполнения индивидуальной контрольной работы, освоения курса и подготовки к экзамену.
Рабочая программа по дисциплине «Линейная алгебра»
для студентов направления подготовки «Экономика» ДонГАУ
1.1. Цели и задачи дисциплины:
целью преподавания дисциплины является развитие у студентов абстрактных понятий линейной алгебры, используемых для описания и моделирования различных математических и экономических задач в производственной и исследовательской деятельности;
основной задачей преподавания является развитие логического и алгоритмического мышления; привитие студентам навыков использования алгебраических методов в практической деятельности при создании математических моделей экономических систем.
1.2. Место дисциплины в структуре ООП:
Учебная дисциплина «Линейная алгебра» входит в цикл общих математических и естественнонаучных дисциплин. Требования к входным знаниям и умениям студента – знание элементарной математики: алгебры, элементарных функций. Данная дисциплина является предшествующей для следующих дисциплин: «Математический анализ», «Теория вероятностей и математическая статистика», «Методы оптимальных решений», «Микроэкономика», «Макроэкономика», «Эконометрика», «Статистика», «Теория бухгалтерского учета», «Экономика фирмы», «Менеджмент».
1.3. Требования к результатам освоения дисциплины:
Процесс изучения дисциплины направлен на формирование следующих профессиональных компетенций:
способен понимать сущность и значение информации в развитии современного информационного общества, сознавать опасности и угрозы, возникающие в этом процессе, соблюдать основные требования информационной безопасности, в том числе защиты государственной тайны (ОК – 12 );
владеет основными методами¸ способами и средствами получения, хранения, переработки информации, имеет навыки работы с компьютером как средством управления информацией, способен работать с информацией в глобальных компьютерных сетях (ОК – 13);
способен на основе типовых методик и действующей нормативно-правовой базы рассчитать экономические и социально-экономические показатели, характеризующие деятельность хозяйствующих субъектов, (ПК-2);
способен выполнять необходимые для составления экономических разделов планов расчеты, обосновывать их и представлять результаты работы в соответствии с принятыми в организации стандартами (ПК-3);
способен осуществлять сбор, анализ и обработку данных, необходимых для решения поставленных экономических задач (ПК-4);
способен выбрать инструментальные средства для обработки экономических данных в соответствии с поставленной задачей, проанализировать результаты расчетов и обосновать полученные выводы (ПК-5);
В результате изучения дисциплины студент должен:
Знать: основные понятия и методы линейной алгебры, необходимые для решения экономических задач;
Уметь: применять методы линейной алгебры и моделирования, теоретического и экспериментального исследования для решения экономических задач;
Владеть: навыками применения современного математического инструментария для решения экономических задач; методикой построения, анализа и применения математических моделей для оценки состояния и прогноза развития экономических явлений и процессов.
Рабочая программа содержит перечень тем, которые должны быть изучены студентами. Последовательность изучения тем, методика их изложения и распределение материала по семестрам программой не предусматриваются и устанавливаются кафедрой высшей математики и физики с учетом потребностей специальных и смежных кафедр.
Содержание дисциплины
Матрицы и определители. Основные понятия и определения. Виды матриц. Операции над матрицами: умножение матрицы на число, сложение и вычитание матриц, умножение матриц, возведение матрицы в степень. Транспонирование матрицы.
Определители. Основные свойства определителей. Миноры. Алгебраические дополнения. Способы вычисления определителей второго и третьего порядка. Определители n-го порядка.
Обратная матрица. Теорема о существовании обратной матрицы. Нахождение обратной матрицы через алгебраические дополнения и с помощью элементарных преобразований.
Ранг матрицы. Элементарные преобразования матриц. Связь ранга с числом независимых строк (столбцов).
Системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Основные понятия. Решение системы nлинейных алгебраических уравнений с n переменными по формулам Крамера. Матричная запись системы уравнений и ее решение в матричной форме.
Решение системы m линейных алгебраических уравнений с n переменными. Теорема Кронекера - Капелли.
Базисные решения системы уравнений. Базисные и свободные переменные. Исследование и решение СЛАУ методом Гаусса. Метод Гаусса-Жордана.
Системы линейных однородных уравнений. Фундаментальная система уравнений. Общее решение системы неоднородных уравнений.
Модель Леонтьева многоотраслевой экономики (балансовый анализ).
Векторная алгебра. Понятие вектора. Модуль вектора. Линейные операции над векторами. Линейная зависимость и независимость векторов. Прямоугольный декартов базис. Линейные операции над векторами, заданными координатами. Проекция вектора на ось. Направляющие косинусы вектора.
Скалярное произведение векторов, его свойства. Скалярное произведение в координатной форме. Векторное произведение двух векторов, его геометрический смысл. Свойства векторного произведения. Векторное произведение в координатной форме.
Смешанное произведение векторов, его геометрический смысл. Условие компланарности трех векторов. Смешанное произведение в координатной форме. Задачи решаемые методами векторной алгебры: задача о делении отрезка в данном отношении; условие коллинеарности двух векторов; вычисление площадей и объемов.
Линейные (векторные) пространства. Понятие n-мерного линейного векторного пространства. Вектор в n-мерном пространстве. Линейная зависимость и независимость векторов линейного пространства. Размерность и базис линейного пространства. Разложение вектора по базису. Дополнение до базиса. Переход к новому базису. Матрица перехода. Свойства матрицы перехода.
Линейные подпространства. Сумма и пересечение линейных подпространств. Линейная оболочка. Евклидовы пространства. Свойства длины вектора. Ортонормированные базисы. Матрицы Грама.
Линейные отображения. Понятие о линейных отображениях. Образ, ранг, ядро, дефект отображения. Отображение базиса.
Линейные операторы и их свойства. Матричная запись линейных операторов. Матрица линейного преобразования.
Собственные векторы и собственные значения линейного оператора. Независимость собственных векторов. Симметричный оператор. Ортогональность собственных векторов.
Квадратичные формы. Понятие квадратичной формы. Приведение квадратичной формы к каноническому виду. Свойства канонических форм. Критерий Сильвестра знакоопределенности квадратичной формы. Основные понятия линейной модели обмена.
Аналитическая геометрия на плоскости. Основные системы координат на плоскости: декартова прямоугольная и полярная, связь между ними. Преобразование прямоугольных координат: параллельный перенос осей координат; поворот осей координат.
Определение расстояния между двумя точками. Деление отрезка в данном отношении.
Линия на плоскости. Уравнение прямой на плоскости. Угловой коэффициент прямой. Уравнение прямой с угловым коэффициентом. Общее уравнение прямой, частные случаи. Уравнение прямой, проходящей через точку в заданном направлении. Уравнение прямой, проходящей через две точки. Уравнение прямой в отрезках. Каноническое уравнение прямой. Уравнение прямой, параллельной данному вектору.
Угол между двумя прямыми. Условия параллельности и перпендикулярности прямых. Точка пересечения двух прямых. Расстояние от точки до прямой.
Задание фигур уравнениями и неравенствами: прямая, полуплоскость.
Кривые второго порядка. Уравнение окружности, свойства окружности. Каноническое уравнение эллипса, его свойства. Каноническое уравнение гиперболы, свойства гиперболы. Виды гипербол. Каноническое уравнение параболы, свойства параболы. Виды парабол.
Преобразования координат и упрощение кривых второго порядка. Приведение к каноническому виду общего уравнения кривой второго порядка.
Аналитическая геометрия в пространстве.Уравнения плоскости в пространстве. Уравнение плоскости, проходящей через данную точку перпендикулярно данному вектору. Общее уравнение плоскости. Частные случаи общего уравнения плоскости. Уравнение плоскости, проходящей через три данные точки. Угол между двумя плоскостями. Условия параллельности и перпендикулярности плоскостей. Угол между двумя плоскостями. Условия параллельности и перпендикулярности плоскостей.
Прямая в пространстве. Угол между прямыми. Условия параллельности и перпендикулярности прямых. Прямая и плоскость в пространстве.
Поверхности второго порядка: сфера, цилиндрические поверхности и конус второго порядка. Поверхности вращения. Общее уравнение поверхности второго порядка.
Комплексные числа. Алгебраическая форма комплексных чисел, арифметические операции над комплексными числами в алгебраической форме. Тригонометрическая и показательная формы комплексных чисел. Модуль и аргумент. Действия над комплексными числами в тригонометрической и показательной формах.