Преобразования графиков функций

Литература: «Алгебра и начала анализа, 10-11» под редакцией А.Н.Колмогорова, М: «Просвещение», 2010,глава 1, &2, п.3.

Основные преобразования графиков функций:

1. Сжатие и растяжение вдоль осей координат.

2. Параллельный перенос по осям координат.

Тренировочные задания:

1) В одной системе координат постройте прямые:

y=x, y=x+5, y=x-4.

Указания: все эти прямые должны быть параллельны друг другу, т.к. имеют одинаковый угловой коэффициент k=1, эти прямые образуют с осью абсцисс один и тот же угол, тангенс которого равен 1, это угол 45⁰.

В данном примере используется параллельный перенос графика y=x по оси ординат на 5 единиц вверх и на 4 единицы вверх.

2) В одной системе координат постройте графики функций:

y=x², y=(x-2)², y=(x-2)²+3.

Указания:

1. Постройте график функции: y=x².

2. Выполните параллельный перенос графика 1) по оси абсцисс на 2 единицы вправо.

3. Выполните параллельный перенос графика 2) на 3 единицы вверх по оси ординат.

3) Дополнительное задание: №48(а,в), №49(учебник указан выше). Преобразования графиков выполнить легко, если сразу видно по какой оси и на сколько необходимо перенести элементарный график. Приведём примеры, когда нужно преобразовать функцию, прежде чем строить график. Рассмотрим два вида преобразований: выделение полного квадрата, почленное деление числителя на знаменатель.

1. Постройте график функции: y=x²+6x+1. Из аналитического задания функции нельзя определить смещение графика y=x² по осям координат.

Выделим полный квадрат: x²+6x+1=(x+3)² – 8. Убедитесь, что равенство верное. Наша задача сводится к построению графика: y=(x+3)² – 8.

1)y=x² ; 2)график 1) смещаем на 3 единицы влево; 3) график 2) смещаем на 8 единиц вниз.

2. Постройте график функции: .

Преобразуем выражение: . Убедитесь, что преобразование выполнено верно. Задача сводится к построению графика: . Примените параллельный перенос гиперболы на 1 единицу вверх по оси ординат.

Графическая работа «Построение графиков функций. Преобразования графиков».

1. В одной системе координат постройте прямые: y=2x, y=2x+1, y=2x-4.

2. В одной системе координат постройте параболы: y= - x², y= -(x+2)², y= - (x+2)²+3.

3. В одной системе координат постройте гиперболы:

.

Дополнительные задания:

Используя преобразования (выделение полного квадрата, почленное деление) постройте графики функций:

1. y=x²+4x-2.

2. y=4x²+8x-5.

3. .

Тема 1.3. Тригонометрические функции.

Теоретические вопросы.

1. Связь между радианной и градусной мерой угла.

2. Определение синуса, косинуса, тангенса и котангенса острого угла в прямоугольном треугольнике. Соотнесите эти определения с движением произвольной точки по единичной окружности.

3. Сформулируйте и докажите основное тригонометрическое тождество, используя теорему Пифагора.

4. Назовите основные свойства функций: y=cos x, y=sin x, y=tg x, y=ctg x. В чём особенность всех тригонометрических функций.

5. Перечислите основные характеристики гармонических колебаний. Какую роль они играют при построении графиков?

6. Какая характеристика влияет на область определения, на область значений?