Геометрические преобразования графиков функции

Если известен график функции , то с помощью некоторых преобразований можно построить графики более сложных функций.

1. График функции получается параллельным переносом графика вдоль оси на .

Значение функции при совпадает со значением при .

2. График функции получается параллельным переносом графика функции вдоль оси на .

3. График функции получается растяжением графика вдоль оси в раз при и сжатием вдоль этой оси в раз при ; если , то к этому преобразованию добавляется зеркальное отражение относительно оси .

4. График функции получается сжатием графика вдоль оси в раз при и растяжением вдоль этой же оси в раз при ; если , то к этому преобразованию добавляется зеркальное отражение относительно оси .

5. График функции получается из графика функции следующим преобразованием: часть графика, лежащая выше оси , остается на месте; часть графика, лежащая ниже оси , зеркально отражается относительно оси .

6. График функции получается из графика следующим преобразованием: при график не изменяется; при график заменяется на

зеркальнoе отражение относительно оси части графика, соответствующей .

пп 10. Теоретические Упражнения
ТУ ПП 10. №1.	Пользуясь стандартными символами, запишите определения четности, нечетности, периодичности, ограниченности и монотонности функций.
ТУ ПП 10. №2.	Приведите пример неограниченной функции, непрерывной на интервале. РЕШЕНИЕ: непрерывна на интервале (0, 1),ноне ограничена.

ТУ ПП 10. №3.	Справедливо ли утверждение о том, что непрерывная на функция достигает на нем своих точной верхней и точной нижней граней? РЕШЕНИЕ: Для , значения и - не достигаются на интервале .	нет
ТУ ПП 10. №4.	Покажите, что функция y = x2 непрерывна в произвольной точке x0 вещественной оси. РЕШЕНИЕ: Действительно, числовые значения f(x0) = x02 и f(x0 + Dx) = (x0 + Dx)2 порождают приращение функции вида Dy = (x0 + Dx)2 – x02 = x02 + 2x0 × Dx + Dx2 – x02 = 2x0 × Dx + Dx2. Используя 2-е определение непрерывности, имеем Поскольку 2-е определение выполняется, функция непрерывна.
ТУ ПП 10. №5.	Покажите, что функция y = sin x непрерывна в произвольной точке x0 вещественной оси. РЕШЕНИЕ: Действительно, числовые значения f(x0) = sin x0 и f(x0+Dx) = sin(x0+Dx) порождают приращение функции вида Dy = sin(x0 + Dx) - sinx0 = 2sin(Dx/2)×cos(x0 + Dx/2). В теории пределов было доказано, что поэтому Используя 2-е определение непрерывности, имеем: Поскольку 2-е определение выполняется, функция непрерывна.

ТУ ПП 10. №6.	Докажите, что 2-е определение непрерывности равносильно 1-му определению. РЕШЕНИЕ: Используя арифметические свойства предела, получаем По определению приращения Dx = x – x0, поэтому и тем самым Последнее равенство и означает 1-е определение непрерывности.
ТУ ПП 10. №7.	Покажите, что т.е. знак непрерывной в точке x0 функции y = f(x) и знак предела перестановочны. Вычислите предел: РЕШЕНИЕ: поэтому 1-е определение непрерывности может быть записано в виде Функция y = sinx непрерывна в любой точке, поэтому

пп 10. ФУНКЦИИ

п/п

Задание

Ответ

ПП 10. №1.	Укажите все номера целых чисел данного множества 1) , 2) , 3) , 4) ,5) . РЕШЕНИЕ: 1) = = = = =49-2=47 2) = 3) для перевода периодической десятичной дроби в рациональную сделаем следующее: обозначим периодическую дробь через x, умножим ее на 100 и вычтем из полученного равенства исходное, тем самым получим , = , 4) = = = . 5) = .	1), 3), 5)
ПП 10. №2.	Найдите область определения и множество значений функции . ООФ находим из условия , . ОЗФ находим из условий: Допустимые значения параметра удовлетворяют неравенствам: .	,
ПП 10. №3.	Изобразите график функции РЕШЕНИЕ: На полуинтервале [-1, 1) функция имеет вид смещенной параболы, ветви которой направлены вниз. Вне этого полуинтервала f(x) = | x | – 1, т.е. y = | x |опущенный на 1 вниз стандартный график
ПП 10. №4.	Изобразите график функции - знак ,

ПП 10. №5.	Функция Дирихле - целая часть (наибольшее целое, не превосходящее ) , ; эта функция может быть задана в виде .
ПП 10. №6.	Найдите , если , . Вычислите . ; , значит, ; .	; .
ПП 10. №7.	Вычислите односторонние пределы функции в точке x= 1. В точке x = 1 функция не определена, потому что знаменатель равен нулю. По определению модуля Левый предел: Правый предел: Односторонние пределы конечны, но не равны друг другу, функция имеет в точке x = 1 разрыв 1-го рода.

ПП 10. №8.	Установите, какого рода разрыв в точке х = 0 имеет функция РЕШЕНИЕ: В теории пределов был доказан 1-й замечательный предел следствием которого является предел Стремление х®0 произвольно, поэтому Тем самым доказано, что но в самой точке х0 = 0 функция не определена. Следовательно, выполняется определение точки устранимого разрыва.	точка устранимого разрыва
ПП 10. №9.	Вычислите односторонние пределы . РЕШЕНИЕ: , . Функция имеет в точке x = 1 разрыв 2-го рода.
ПП 10. №10.	Докажите (найдите ), что функция непрерывна в точке , если , . РЕШЕНИЕ: По определению непрерывности требуется доказать, что По определению предела требуется доказать, что . 1). Возьмем произвольное 2). Так как Положим 3). Возьмем . Тогда если то ч.т.д.

ПП 10. №11.	Определите точки разрыва функции и исследовать характер разрыва. РЕШЕНИЕ: Функция имеет различный вид на отрезке [0, 1] и полуинтервале (1, 2], поэтому точка х = 1 может быть точкой разрыва. Левый предел: Правый предел: Односторонние пределы существуют и не равны друг другу. Следовательно, точка х = 1 является точкой разрыва 1-го рода.	разрыв 1-го рода
ПП 10. №12.	Определите точки разрыва функции и исследуйте их характер. РЕШЕНИЕ: Функция не определена, следовательно, разрывна в точке х = 0. Вычислим левый предел, учитывая, что показательная функция y = ax, a > 1, стремится к нулю при х ® - ¥. Кроме того, функция y = 1/x является бесконечно большой, потому что х®0 и х < 0. Итак, Вычислим правый предел, учитывая, что показательная функция y = ax, где a > 1, стремится к бесконечности при х ® +¥. Кроме того, функция является бесконечно большой, потому что х®0 и х > 0. Итак, Поскольку правый предел бесконечен по определению, то точка х = 0 является точкой разрыва 2-го рода.	х = 0 – точка разрыва 2-го рода.

ПП 10. №13.	Установите, какого рода разрыв в точке х = 0 имеет функция РЕШЕНИЕ: . Односторонние пределы существуют и равны друг другу. Следовательно, точка х = 1 является точкой устранимого разрыва, устранить который можно доопределив функцию:	устранимый разрыв
ПП 10. №14.	Имеет ли корень уравнение sinx – x + 1 = 0? РЕШЕНИЕ: Рассмотрим функцию f(x) = sinx – x + 1, которая непрерывна на всей числовой оси, поскольку является суммой непрерывных на числовой оси функций y = sinx и y = -x + 1. легко установить, что функция меняет знак, поскольку f(0) = 1, а f(2p) = -2p + 1 < 0. Следовательно, функция равняется нулю внутри отрезка [0, 2p], то есть имеется по крайней мере один корень исходного уравнения.	да
ПП 10. №15.	Исследуйте поведение функции в точке . РЕШЕНИЕ: В точке функция не определена, является точкой устранимого разрыва. Чтобы функция стала непрерывной в точке , положим Новая, доопределенная функция будет непрерывна на новой области определения – всей числовой оси.
ПП 10. №16.	Принимает ли функция значение внутри отрезка [-2, 2]? РЕШЕНИЕ: Функция является непрерывной на [-2, 2]. Кроме того, на концах отрезка функция принимает числовые значения f (-2)=1, f (2) = 5. Так как то найдется точка c Î (-2, 2) такая, что	да

ПП 10. №17.

Найдите функцию, обратную функции при . РЕШЕНИЕ: , , . При функция монотонно убывает, значит, существует обратная. Выразим через , учитывая, что . Получим: , . Поменяем местами и . , , . Область определения и область значений исходной и обратной функции меняются местами. Графики функций симметричны относительно прямой .