Системы уравнений и методы их решения применительно к задачам электроэнергетики

1.1. Матричная алгебра и теория графов, их использование для анализа и расчетов, установившихся режимов электрических систем

Расчет и анализ функционирования и развития сложных систем энергетики удобнее вести с применением алгебры матриц и теории графов. Для этого схемы замещения электрической системы (в частности электрической сети) представляется в виде графа, а математические выражения, описывающие режим работы и развитие системы, записываются в матричной форме.

Предполагается, что студенты, уже знакомились с матричной алгеброй в курсе «Математика». Необходимо вспомнить основные положения матричной алгебры из [2, с.225 – 237 и 3, с.273 – 279].

Полезно познакомиться с элементами теории графов применительно к электрическим системам, рассмотреть матричное представление схем электрических цепей, изучить примеры формирования матричных уравнений, состояние электрической системы для установившихся режимов нормальной работы [1, с. 31 – 69, и 3, с.280 – 294].

-5-

Контрольные вопросы

1. Дайте определение матрицы.

2. Какую матрицу называют прямоугольной, квадратной, вектор-строкой, вектор-столбцом, симметричной, неособенной, диагональной, единичной, нулевой, транспонированной?

3. Какие алгебраические операции имеют место в матричной алгебре и как они выполняются?

4. Что такое определитель матрицы, миноры и алгебраические дополнения?

5. Расскажите способ вычисления определителя матрицы разложением по элементам строки или столбца.

6. Дайте определение обратной матрицы.

7. Расскажите алгоритм вычисления обратной матрицы классическим способом.

8. Дайте понятие о графе электрической сети. Независимые узлы и контуры.

9. Расскажите правила формирования первой и второй матриц инциденции графа сети.

10. Напишите законы Ома и Кирхгофа в матричной форме.

11. Напишите уравнение состояния электрической сети в матричной форме для методов узловых напряжений и контурных токов.

12. Расскажите правила формирования матриц узловых проводимостей и контурных сопротивлений.

13. Матричный расчет токов в ветвях линейной электрической цепи методом узловых напряжений и контурных токов.

1.2. Методы решения систем линейных уравнений

Решение многих задач электроэнергетики сводится к формированию систем уравнений и нахождению их корней. Методы решения систем линейных уравнений(СЛУ) разделяются на точные и итерационные.

Точные методы представляют собой конечные алгоритмы для вычисления корней уравнений. Это методы обратной матрицы, определителей, Гаусса и др. Итерационные методы позволяют получать корни системы с заданной точностью путем сходящихся бесконечных процессов. К их числу относятся методы простой итерации, Зейделя и др. Эффективность применения итерационных методов существенно зависит от удачного выбора начального приближения к корням и быстроты сходимости процесса.

-6-

Исходные данные к задачам 1 и 2 Таблица 1

№ п/п	Матрица	№ п/п	Матрица	№ п/п	Матрица	№ п/п	Матрица

-15-

Задача 8. Решить СЛУ второго порядка (табл.5) методом простой итерации [2]. Принять начальные приближения , и точность вычисления корней .

Задача 9. Решить СЛУ второго порядка (табл.5) методом Зейделя [2]. Принять начальные приближения , и точность вычисления корней . Сравнить число итераций по методу простой итерации и методу Зейделя.

Задача 10. Решить СЛУ второго порядка (табл.6) методом Ньютона. [2]. Принять , и .

Задача 11. Найти оптимальное распределение потоков активной мощности в электрической сети (рис.2),соответствующее минимуму потерь мощности в линиях сети [6]. Математическая формулировка задачи: найти точку минимума выпуклой целевой функции

При ограничениях в виде уравнений по I закону Кирхгофа

и .

Указание. Задачу нелинейного выпуклого программирования с ограничениями в виде равенств решить методом Лагранжа. Исходные данные к задаче задаются в табл.7.

Задача 12. Определить вероятность повреждения энергетического блока , представляющего собой последовательное соединение парового котла с паровой турбиной и электрическим генератором. Вероятности повреждения для котла , турбины , генератора приведены в табл.8 аварийный выход каждого элемента считать независимым и совместным случайным событием.

-14-

Каждый метод имеет свои преимущества и недостатки по сравнению с другими методами. Значение методов позволяет выбирать лучший из них для решения СЛУ в конкретной задаче электроэнергетики.

Особое внимание следует обратить на метод Гаусса, получивший наибольшее распространение для решения СЛУ. Необходимо рассмотреть его недостатки и способы их устранения.

Контрольные вопросы

1. Сущность точных и итерационных методов решения СЛУ.

2. Метод обратной матрицы.

3. Метод определителей.

4. Метод Гаусса.

5. Вычисление определителя методом Гаусса.

6. Метод Гаусса без обратного хода.

7. Вычисление определителя методом Гаусса.

8. Преимущества и недостатки метода Гаусса.

9. Метод простой итерации.

10. Метод Зейделя.

11. Основное условие сходимости итерационного процесса решения СЛУ.

12. Преимущества и недостатки итерационных методов решения СЛУ.

1.3. Методы решения систем нелинейных уравнений

Установившиеся режимы электрических систем описываются с большой степенью точности нелинейными уравнениями. Системы нелинейных уравнений (СНУ) решаются только итерационными методами. При изменении напряжений узлов в небольших диапазонах система уравнений установившегося режима носит название слабо нелинейной и для нахождения её корней могут быть применены метод Зейделя и метод простой итерации. В случае, когда нелинейность уравнений высока, применяется более эффективный метод Ньютона, который получил наибольшее применение в электроэнергетике. Необходимо хорошо понять сущность этого метода, основанного на последовательном решении линеаризованных систем уравнений. Предлагается рассмотреть геометрическую интерпретацию метода Ньютона на примере решения одного нелинейного уравнения, изучить алгоритм решения СНУ этим методом.

-7-
Контрольные вопросы

1. Понятие о нелинейных уравнениях, описывающих режимы электрических систем.

2. Методы простой итерации и Зейделя для решения нелинейных уравнений.

3. Сущность линеаризации нелинейных уравнений.

4. Метод Ньютона как метод касательных для решения нелинейного уравнения.

5. Алгоритм метода Ньютона для решения СНУ.