Влияние автокорреляции на свойства оценок МНК

34. Тест серий. Статистика Дарбина – Уотсона.

Начнем с частного случая, в котором автокорреляция подчиняется авторег­рессионной схеме первого порядка:

.

Это означает, что величина случайного члена в любом наблюдении равна его значению в предшествующем наблюдении (т. е. его значению в период t — 1), умноженному на ρ, плюс новый e_t,. Данная схема оказывается авторегрес­сионной, поскольку e определяется значениями этой же самой величины с запаздыванием, и схемой первого порядка. В этом простом случае максимальное запаздывание равно единице. Предполагается, что значение e в каждом наблюдении не зависит от его значений во всех других наблюдениях. Если ρ положительно, то автокорреляция положительная; если ρ отрицатель­но, то автокорреляция отрицательная. Если ρ = 0, то автокорреляции нет и третье условие Гаусса—Маркова удовлетворяется.

Широко известная статистика Дарбина—Уотсона (d илиDW) определяется следу­ющим образом:

Можно показать, что в больших выборках

d→2-2ρ

Если автокорреляция отсутствует, то ρ= 0, и поэтому величина d должна быть близкой к двум. При наличии положительной автокорреляции величина d, вооб­ще говоря, будет меньше двух; при отрицательной автокорреляции она, вообще говоря, будет превышать 2. Так как ρ должно находиться между значениями 1 и — 1, то d должно лежать между 0 и 4.

Критическое значение d при любом данном уровне значимости зависит, как можно предполагать, от числа объясняющих переменных в уравнении регрес­сии и от количества наблюдений в выборке. К сожалению, оно также зависит от конкретных значений, принимаемых объясняющими переменными. Поэто­му невозможно составить таблицу с указанием точных критических значений для всех возможных выборок, как это можно сделать для t- и F-статистик; но можно вычислить верхнюю и нижнюю границы для критического значения d. Для положительной автокорреляции они обычно обозначаются как d_v и d_L.

На рис. данная ситуация представлена в виде схемы; стрелка указывает критический уровень d, который обозначается как d . Если бы мы знали зна­чение d_крит, то могли бы сравнить с ним значение d, рассчитанное для нашей регрессии. Если бы оказалось, что d> d_крит, то мы не смогли бы отклонить ну­левую гипотезу от отсутствии автокорреляции. В случае d<d_крит мы бы откло­нили нулевую гипотезу и сделали вывод о наличии положительной автокор­реляции

Тест Дарбина—Уотсона на автокорреляцию

(показана зона неопределенности в случае предполагаемой

положительной автокорреляции)

Вместе с тем мы знаем только, что d_криm находится где-то между d_L и d_U. Это предполагает наличие трех возможностей:

1. Величина d меньше, чем d_L. В этом случае она будет также мень­ше, чем d_Kpum, и поэтому мы сделаем вывод о наличии положитель­ной автокорреляции.

2. Величина d больше, чем d_U. В этом случае она также больше кри­тического уровня, и поэтому мы не сможем отклонить нулевую гипо­тезу.

3. Величина d находится между d_L и d_U. В этом случае она может быть больше или меньше критического уровня. Поскольку нельзя опреде­лить, которая из двух возможностей налицо, мы не можем ни откло­нить, ни принять нулевую гипотезу.

В случаях 1 и 2 тест Дарбина—Уотсона дает определенный ответ, но случай 3 относится к зоне невозможности принятия решения, и изменить создавше­еся положение нельзя.

. Тест Дарбина—Уотсона на автокорреляцию

(показана зона неопределенности в случае предполагаемой

отрицательной автокорреляции)

Проверка на отрицательную автокорреляцию проводится по аналогичной схеме, причем зона, содержащая критический уровень, расположена симмет­рично справа от 2. Так как отрицательная автокорреляция встречается относи­тельно редко, предполагается, что при необходимости вы сами вычислите гра­ницы зоны на основе соответствующих значений для положительной автокор­реляции при данном числе наблюдений и объясняющих переменных. Это дос­таточно легко сделать. Как показано на рис., величина (4 — d_U) есть нижний предел, ниже которого признается отсутствие автокорреляции, а (4 - d_L) — верх­ний предел, выше которого делается вывод о наличии отрицательной автокор­реляции.

35. Способы противодействия автокореляции.

Возможно, вам удастся устранить автокорреляцию путем определения ответ­ственного за нее фактора или факторов и соответствующего расширения урав­нения регрессии. Когда такое возможно, это может оказаться наилучшим ре­шением.

В других случаях процедура, которую следует принять, будет зависеть от ха­рактера зависимости между значениями случайного члена. В литературе наиболь­шее внимание уделяется так называемой авторегрессионной схеме первого по­рядка, так как она интуитивно правдоподобна, но для того, чтобы было целесообразным ее использование в более сложных моделях, оснований обыч­но не хватает. Вместе с тем если наблюдения проводятся ежеквартально или ежемесячно, могут оказаться более подходящими другие модели, но мы не будем их здесь рассматривать.

Если бы уравнение было правильной спецификацией для измерения величины случайного члена, то вы могли бы полностью устранить автокорре­ляцию, если бы знали величину ρ. Это будет продемонстрировано на примере уравнения регрессии, включающего только одну объясняющую переменную, од­нако при большем их числе действует тот же принцип. Предположим, что истинная модель задается выражением, так что наблюдения t и t — 1 формируются как

Теперь вычтем из первого уравнения второе, умноженное на ρ, и получим

:

Обозначим:

Это преобразование называется авторегрессионным, или преобразованием Бокса–Дженкинса.

Тогда преобразованное уравнение

где , не содержит автокорреляцию, поскольку u_t независимы.

Конечно, на практике величина ρ неизвестна, его оценка получается одно­временно с оценками аир. Имеется несколько стандартных способов такого оценивания, и, вероятно, один или нескольких таких способов могут быть ре­ализованы в имеющемся у вас регрессионном пакете.

Метод Кокрана—Оркатта представляет собой итеративный процесс, вклю­чающий следующие этапы.

1. Оценивается регрессия с исходными непреобразованными дан­ными.

2. Вычисляются остатки.

3. Оценивается регрессионная зависимость e_t от е_t-1, соответствующая
формуле и коэффициент при e_t-1 представляет собой оценку ρ (поскольку D(e_t-1)≈D(e_t),в качестве альтернативной оценки ρ можно принять коэффициент автокорреляции первого порядка r_e-1,e)

4. С этой оценкой ρ к преобразованному уравнению применяется МНК, который позволяет получить пересмотренные оценки α и β.

Повторно вычисляются остатки, и процесс возвращается к этапу 3.

Метод Хилдрета—Лу, также широко применяемый в регрессионных пакетах, основан на тех же самых принципах, но использует другой алгоритм вычисле­ний. Здесь преобразованная регрессия оценивается для каждого значения ρ из определен­ного диапазона с заданным шагом внутри его. (Например, исследователь мо­жет задать диапазон от ρ = —1,00 до ρ= 1,00 с шагом 0,01.) Значение, которое дает минимальную стандартную ошибку для преобразованного уравнения, при­нимается в качестве оценки ρ, а коэффициенты регрессии определяются при оценивании уравнения с использованием этого значения.