Прогноз по стационарным моделям временных рядов

Наиболее популярным методом прогнозирования является использование моделей авторегрессии и скользящего среднего (АРСС), в которых не участвуют экзогенные (независимые) переменные. Модели данного класса служат для обработки стационарных временных рядов (рядов динамики).

Модель АРСС включает две составные части:

а) авторегрессионный процесс (АР). Выражает переменную в виде функции предшествующих значений , то есть

. (9.9)

Модель, описываемая соотношением (9.9), называется процессом авторегрессии порядка p.

б) процесса скользящего среднего:

. (9.10)

Модель (9.10) носит название процесс скользящего среднего порядка q.

Для построения модели АРСС следует объединить линейные формы процессов авторегрессии и скользящего среднего с моделью сдвига .

Тогда получим:

(9.11)

Следует заметить, что уравнение (9.11) может адекватно описывать поведение временных рядов в экономике, если ряды динамики являются стационарными. Стационарность временного ряда означает, что зависимая переменная имеет постоянную среднюю и дисперсию в течение периода наблюдения, то есть

,

а также ковариации наблюдений зависят от длины между отсчетами.

Приведем графическое изображение стационарного и нестационарного временных рядов (рис. 24).

Рис. 24

Сведение нестационарного ряда к стационарному с последующей его обработкой может быть осуществлено на основе метода последовательных разностей:

, и т.д.

Необходимый наивысший порядок последовательных разностей, при котором нестационарный временной ряд сводится к стационарному в условии ненулевого тренда, обозначим символом d. Тогда после нахождения прогноза необходимо рассчитать прогноз эндогенной переменной по формуле и т. д.

Модель, учитывающая последовательные разности, носит название авторегрессии и интегрированного скользящего среднего АРИСС (p, d, q). Например, АРИСС (2, 1, 1) указывает на включение в уравнение двух авторегрессионных слагаемых (из конечных разностей первого порядка) и одного слагаемого модели скользящего среднего:

АРИСС (2, 1, 1): .

В условиях применения АРИСС-модели возникают три основные задачи:

· оценка структуры модели, то есть спецификация параметров p,
d и q;

· оценка коэффициентов модели ;

· прогнозирование переменной модели.

Перейдем к решению этих задач:

1. Процедура спецификации модели обычно начинается с решения задачи оценивания порядка включаемых в модель конечных разностей d.

Шаг 1.Производят изучение выборки данных, если Y проявляет тенденцию к росту, то вычисляют конечные разности 1-го поряд-
ка .

Шаг 2.Проверяют парный коэффициент корреляции между зависимой переменной и лаговой переменной . При корректном выборе параметра d индикатор , тогда в качестве оценки принимают k*. Изобразим алгоритм остановки процесса преобразования исходной модели к стационарной с помощью графика , который носит название кореллограммы:

Рис.25

2. Нахождение оценок параметров авторегрессии и скользящего среднего осуществляют в три этапа.

Этап 1. Выбирают начальные значения и , по возможности наименьшие , .

Этап 2. Оценивают АРИСС ( ) и находят остатки , с помощью которых рассчитывают частные коэффициенты автокорреляции:

.

Если , то сохраняют и , в противном случае увеличивают начальные значения ρ и q на единицу и повторяют этап 2 для модели АРИСС ( ) до тех пор, пока коэффициенты частной корреляции не обратятся в нуль.

Приведем таблицу выбора моделей низких порядков АРИСС на базе определенных значений коэффициентов корреляции.

Модель
Нестационарная	Отличен от нуля	Отличен от нуля
АРИСС(0, 0, 0)	Все равны нулю	Все равны нулю
АРИСС(1, 0, 0)	Стремятся к нулю	Обращаются в нуль после 1-ого лага
АРИСС(2, 0, 0)	Стремятся к нулю	Обращаются в нуль после 2-ого лага
АРИСС(0, 0, 1)	Обращаются в нуль после 1-ого лага	Стремятся к нулю
АРИСС(0, 0, 2)	Обращаются в нуль после 2-ого лага	Стремятся к нулю
АРИСС(1, 0, 1)	Обращаются в нуль после 1-ого лага	Обращаются в нуль после 1-ого лага

Этап 3. Закончив процесс оценивания структуры модели АРИСС, переходят к оцениванию ее коэффициентов. Следует заметить, что лишь при целесообразно применять классический МНК, а в противном случае требуется использовать операторы декорреляции или взвешенные модификации МНК.

Для решения задачи нахождения прогноза используют модель
с наблюдаемыми остатками :

где , .

Процесс построения прогнозируемых значений происходит последовательно, начиная с оценки прогноза на один период, используя который, получают прогноз на 2 периода в будущее и так далее. Проиллюстрируем этот процесс для модели АРИСС (2, 0, 1):

, .

Для нахождения прогноза в момент времени Т+1 оценивают коэффициенты и после подстановки получают:

,

где остаток, полученный в момент Т+1, равен нулю. Далее, для получения прогноза в момент Т+2, имеют

.

Заметим, что процесс скользящего среднего с момента Т+2 уже не участвует в прогнозировании.

Рассмотрим применение АРИСС-модели для прогнозирования темпа инфляции [17]:

Пример. В макроэкономике одной из центральных проблем является установление количественной взаимосвязи между темпом инфляции и уровнем безработицы. Современное состояние, основанное на концепции инфляционных ожиданий и расширившее классическую зависимость А.Филлипса, имеет вид [27]:

,

где – темп инфляции в момент t;

– уровень безработицы в момент t;

– естественный уровень безработицы, не воздействующий на темп инфляции.

На основе статистических данных экономики США за 1977 – 1990 гг. об уровнях инфляции INF(t) и безработицы U(t) была построена эконометрическая модель вида:

(9.12)

.

Качество модели (9.12) – достаточно высокое, действительно:

а) t-статистики оценок параметров превышают табличные пороговые значения и позволяют сделать вывод о значимости коэффициентов модели;

б) статистика Дарбина-Вотсона близка к значению 2, что говорит об отсутствии автокорреляции остатков при любом разумно малом уровне значимости α;

в) коэффициент адекватности позволяет судить об очень высокой доле дисперсии зависимой переменной, объясненной с помощью уравнения авторегрессии АРИСС (1, 1, 0).

Полученное уравнение имеет содержательную интерпретацию, которая позволяет сделать вывод о большой инерционности инфляционного процесса; более того, значение мультипликатора ( ),
превышающее единицу, указывает на самоускоряющийся характер этого процесса. Из уравнения (9.12) можно найти оценку естественного уровня безработицы:

.

Следовательно, , откуда .

Поэтому естественный уровень безработицы в США по данным за 1977 – 1990 гг. составил около 6%.

Пример. Согласно модели экономического роста Р.Солоу страны, имеющие большую норму сбережения и обладая высокой фондовооруженностью, будут иметь и больший доход на душу населения.

Используя зависимость, соответствующую модели Солоу, эконометрическая зависимость удельного дохода примет вид:

(9.13)

где – удельный выпуск на душу трудоспособного населения L i-й страны,

;

– средний темп роста численности населения i-й страны.

По данным экономики США за 1960 – 1985 гг. была получена оценка зависимости (9.13) [14].

.

Следовательно, доля общего дохода, обусловленная основными фондами, составила 60%. Эластичность удельного ВВП по норме сбережений составила 1,48, а по темпу роста населения – (–1,48).

Среди многочисленных методов прогнозирования важную роль играют процедуры автопрогноза, в рамках которой имеющийся в наличии временной ряд подвергается экстраполяции только на базе его значений, полученных в прошлые периоды времени.

Наиболее эффективное решение задач краткосрочного и среднесрочного автопрогноза производится на основании моделей авторегрессии и интегрированного скользящего среднего АРИСС (p, d, q):

(9.14)

где – ряд, полученный после применения к исходному ряду – кратной процедуры последовательных разностей, т.е.:

Частными случаями модели (9.14) являются:

модель авторегрессии AP (p)

(9.15)

модель скользящего среднего СС (q)

(9.16)

Модель (9.14) предназначена для описания нестационарных временных рядов , содержащих трендовую аддитивную составляющую , имеющих вид алгебраического полинома степени k – 1 с коэффициентами любого типа (случайного или детерминированного).

Модели (9.15) и (9.16) описывают стационарные (в широком смысле) временные ряды, т.е. их средние , дисперсии и ковариации остаются постоянными в течение времени t.

В теории рядов динамики основные кривые роста, описывающие трендовую составляющую , имеют вид, представленный в табл. 9.4.

Из двух последних столбцов таблицы вытекает, что подбор кривых роста осуществляется путем вычисления характеристик прироста уровней ряда, которое выполняется по следующему алгоритму:

1. Производится сглаживание ряда динамики методом скользящей средней (т.е., для каждых – нечетных последовательно расположенных уровней ряда вычисляют среднюю величину, далее переходят к расчету средних для уровней (отбрасывая первый и добавляя следующий за ) и т.д. Общая формула имеет вид:

. (9.17)

Таблица 9.4

№ п/п	Название кривой роста	Вид тренда	Характеристика подбора	Характер изменения во времени
	Линейная			Примерно одинаковые
	Парабола второго порядка			Линейно изменяются
	Кубическая парабола			Линейно изменяются
	Показательная			Примерно одинаковые
	Модифицированная показательная			Линейно изменяются
	Логарифмическая парабола			Линейно изменяются
	Кривая Гомперца			Линейно изменяются
	Логистическая кривая			Линейно изменяются

Формула (9.17) допускает последовательный расчет

(9.18)

2. Вычисляют средние приросты по предварительно полученному ряду последовательных разностей соответствующих порядков (абсолютных приростов уровней ряда):

Если начало отсчета времени находится внутри интервала сглаживания длиной m, то общая формула исчисления средних приростов имеет вид:

. (9.19)

Наиболее используемые частные случаи:

Прямое вычисление средних приростов состоит в расчете средних арифметических абсолютных приростов:

Общая формула прямого расчета (m = 2k+1):

(9.23)

3. Образуют ряд производных характеристик от средних приростов, основные типы которых даны в третьем столбце табл. 9.1.

4. Полученный на предыдущем шаге ряд анализируется по признаку линейного развития во времени, на основании которого подбирают вид кривой роста (тренда) в соответствии с тенденцией, отмеченной в столбце 4 табл. 9.1.

Рассмотрим иллюстративный пример выбор вида кривой роста.

Пример 9.1¢* Производство радиоаппаратуры на предприятии в течение 15 лет представлено в таблице:

t
yt	3,6	4,9	10,3	12,8	13,7	14,5	17,1	24,4	22,9

t
yt	25,3	28,2	30,2	34,1	32,5

Расчеты характеристик приростов представленного ряда помещены в табл.9.5.

Таблица 9.5

t	yt
	3,6	---	---	---	---	---	---	---
	4,9	---	---	---	---	---	---	---
	10,3	9,60	2,86		0,31	0,45	-0,51	-1,46
	12,8	11,24	2,26	-0,55	0,20	0,35	-0,70	-1,75
	13,7	13,68	1,53	-0,73	0,11	0,18	-0,95	-2,09
	14,5	16,50	2,66	1,13	0,16	0,42	-0,79	-2,01
	17,1	18,52	2,83	0,17	0,15	0,45	-0,82	-2,08
	24,4	20,84	2,74	-0,09	0,13	0,44	-0,88	-2,20
	22,9	23,58	2,31	-0,43	0,10	0,36	-1,01	-2,38
	25,3	26,20	1,69	-0,62	0,06	0,23	-1,19	-2,61

Продолжение табл. 9.5

t	yt
	28,2	28,14	2,73	1,04	1,10	0,44	-1,01	-2,46
	30,2	30,06	2,03	-0,70	0,07	0,31	-1,17	-2,65
	34,1	---	---	---	---	---	---	---
	32,5	---	---	---	---	---	---	---

При рассмотрении графического изображения ряда по показателям можно сделать вывод о линейном тренде. По графикам (рис. 23) можно визуально отметить, что наибольшее приближение к линейному
развитию во времени характерно для , , . Среди этих трех показателей, по-видимому, наименьший разброс от линейной зависимости имеют две последние из трех. Этот результат адекватен исследуемому процессу как процессу логистическому, т.е. роста с насыщением.

Оценивание параметра d модели АРИСС (p, d, q) основывается на следующем условии:

(9.24)

Если условие (9.24) выполняется, то порядок разностей (d), включенных в модель АРИСС (p, d, q), полагают равным .

Рисунки графиков рядов и характеристик прироста:

Рис. 26

Процесс преобразования исходного ряда к стационарному можно изобразить в виде графика-коррелограммы (рис. 27):

Рис. 27

Для нахождения параметров и коэффициентов модели используют условие

, (9.25)

где – остатки оценивания модели по взвешенному МНК.

В табл. 9.6 описаны признаки выбора порядков p и q модели АРИСС низких порядков:

Таблица 9.6

№	Модели
	АРИСС (1, 0, 0):	Стремится к нулю	Обращается в нуль 1-ого лага
	АРИСС (2, 0, 0):	Стремится к нулю	Обращается в нуль 2-ого лага
	АРИСС (0, 0, 1):	Обращается в нуль 1-ого лага	Стремится к нулю
	АРИСС (0, 0, 2):	Обращается в нуль 2-ого лага	Стремится к нулю
	АРИСС (1, 0, 1):	Обращается в нуль 1-ого лага	Обращается в нуль 1-ого лага

Для решения задачи прогноза временного ряда применяют модель с наблюдаемыми остатками :

где

Процесс прогнозирования осуществляется последовательно, начиная с , далее и т.д.

Например, для прогнозирования по модели АРИСС (2, 0, 1):

Шаг 1. Оценивают коэффициенты их подстановка дает:

Шаг 2. Далее , т.е. процесс скользящего среднего уже не участвует в прогнозировании. По рекомендациям, принятым в [2], не существует универсального метода прогнозирования, его выбор зависит от:

а) глубины прогнозирования : если , считают прогноз краткосрочным; если – среднесрочным; если – долгосрочным;

б) длины T наблюдаемого временного ряда (при ряд классифицируется как короткий, если – длинный);

в) наличия в анализируемом временном ряду сезонной составляющей и значительной случайной («шоковой») составляющей.

Приведем простейшие примеры нахождения статистического прогнозирования в задачах кратко- и среднесрочного прогноза. Попытки построения долгосрочных корректных прогнозов обречены на неудачу без привлечения экспертных оценок.

1) Рассмотрим модель временного ряда с постоянным трендом:

1.1) Метод скользящего среднего строит прогноз вида

, где

1.2) Методом экспоненциального сглаживания Брауна

, где

Здесь экспоненциально-взвешенная скользящая средняя с параметром сглаживания вычисляется по формуле:

2) Для модели с линейным трендом:

2.1) Прогноз по методу скользящей средней:

где

Здесь

2.2) Прогноз по методу экспоненциального сглаживания:

где