Элементы матричной алгебры

Матрицей называется прямоугольная таблица чисел (иногда – переменных или функций). С помощью матриц удобно проводить алгебраические преобразования и представлять полученные результаты.

Пример. Пусть дана система двух уравнений с двумя неизвестными:

(2.1)

Эту систему уравнений можно записать в матричной форме:

(2.2)

В форме алгебраического матричного уравнения подобные системы будут иметь одинаковый вид:

АХ=В,

(2.3)

где

	- квадратная матрица коэффициентов размера 2х2;
	- матрица-столбец искомых неизвестных размера 2х1;
	- матрица-столбец правых частей уравнений размера 2х1.

Операции над матрицами. Матрицы можно суммировать, вычитать, умножать либо делить на скаляр. Делается это просто - почленно. Результатом будет матрица того же размера.

Пример 2.1. Суммирование двух матриц:

Пример 2.2. Умножение матрицы на скаляр:

Сложнее операция перемножения двух матриц. Различают умножение слева и справа, поскольку эта операция некоммутативна. Перемножаемые матрицы должны иметь соответствующие размеры (1-й индекс - число строк, 2-й - число столбцов): А_m1xn1B_n1xn2 = C_m1xn2. При перемножении матриц повторяется одна и та же операция: очередная строка левой матрицы скалярно умножается на каждый столбец правой матрицы.

Пример 2.3. Перемножение двух квадратных матриц:

Операция транспонирования матрицы (обозначается штрихом или верхним индексом ^т) состоит в повороте матрицы на 90 градусов: 1-я строка становится 1-м столбцом, 2-я строка становится 2-м столбцом и т.д.

Пример 2.4. Транспонирование матрицы:

(2.4)

Операция обращения матрицы является самой сложной, включающей в себя много понятий и операций. Аналогом обратной матрицы в арифметике является обратное число по отношению к данному. Например, дано число 9. Обратным ему будет число 9^-1 =1/9.

Проверка: 9×9^-1 = 9^-1 9=1. Аналогом единицы в матричной алгебре является квадратная единичная матрица Е, имеющая всюду нули, а на главной диагонали - единицы.

Очевидно, что АЕ=ЕА=А. Из определения следует также, что АА^-1=А^-1А =Е. Обращению подлежат, во-первых, только квадратные матрицы, а во-вторых, неособенные, т.е. такие, определитель которых не равен нулю. Заметим, что в арифметике число 0 является особенным, поскольку не имеет обратного числа.

Формула обращения матрицы А:

А-1 =(1/çА ç)(Аij)’,

(2.5)

где çА ç - определитель матрицы А,

(А_ij)’ - транспонированная матрица, составленная из алгебраических дополнений матрицы А.

Примечание: алгебраическим дополнением называется минор, взятый со своим знаком. Минор для ij-элемента матрицы находится как определитель подматрицы, получаемой из данной матрицы путем вычеркивания из нее i-й строки и j-го столбца.

Пример 2.5. Для исходной матрицы А найти матрицу алгебраических дополнений (А_ij):

(2.6)

Пример 2.6. Найти определитель матрицы А из примера 2.5.

Решение. Определитель имеет третий порядок. Его можно вычислить непосредственно, а можно - путем разложения на определители второго порядка. Выберем второй подход:

.

Поскольку определитель çА ç отличен от нуля, то матрица А неособенная и, следовательно, имеет обратную матрицу.

Пример 2.7. Для матрицы А из предыдущего примера найти обратную матрицу А^-1:

(2.7)

Пример 2.8. Проверить равенство АА^-1 =Е:

(2.8)

В результате проверки получена единичная матрица Е, что и следовало ожидать.

Литература

1. Айвазян С.А, Мхитарян В.С. Прикладная статистика и основы эконометрики: Учебник для вузов. - М.: ЮНИТИ, 1998. – 1022 с.

2. Доугерти К. Введение в эконометрику: Учебник / Пер.с англ. – М.: ИНФРА-М, 1997. – 402 с.

3. Замков О.О. Эконометрические методы в макроэкономическом анализе: Курс лекций. – М.: ГУ ВШЭ, 2001. – 122 с.

4. Катышев П.К, Пересецкий А.А. Сборник задач к начальному курсу эконометрики. – М.: Дело, 1999. – 72 с.

5. Кремер Н.Ш, Путко Б.А. Эконометрика: Учебник для вузов / Под ред. Н.Ш. Кремера. - М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2002. – 311 с.

6. Магнус Я.Р, Катышев П.К, Пересецкий А.А. Эконометрика. Начальный курс: Учебник. - 3-е изд., перераб. и доп. - М.: Дело. 2000. – 400 с.

7. Настин Ю.Я. Эконометрика: Методические указания и задания для контрольной работы. – Калининград: БИЭФ, 2004.

8. Практикум по эконометрике: Учебное пособие для вузов / Под ред. И.И. Елисеевой. - М.: Финансы и статистика, 2001. – 191 с.

9. Эконометрика: Учебник для вузов / Под ред. И.И. Елисеевой. - М.: Финансы и статистика, 2001. – 342 с.

Юрий Яковлевич Настин

Эконометрика

Учебное пособие