Точечные и интервальные оценки параметров

Оценкой параметра Q называют всякую функцию от результатов над n наблюдениями СВ Х, посредством которой судят о значении параметра Q. Оценку называют также статистикой.

Если Q - величина детерминированная, то ее оценка - случайная величина, которая в смысле качества оценивания может быть лучше или хуже. Качество оценивания определяется по трем критериям: несмещенность, состоятельность, эффективность.

Оценка параметра Q называется несмещенной, если ее МО равно параметру Q:

М( ) = Q.

(1.36)

Требование несмещенности гарантирует отсутствие систематических ошибок при оценивании.

Оценка параметра Q называется состоятельной, если она удовлетворяет закону больших чисел, т.е. сходится по вероятности к Q:

lim P(ê - Q ê £ e) = 1 при n®¥.

(1.37)

Как видно, с увеличением объема n выборки значительные ошибки оценивания становятся все менее вероятными.

Оценка параметра Q называется эффективной, если она несмещенная и имеет наименьшую дисперсию среди всех возможных несмещенных оценок, вычисленных по выборкам одного объема n. Эффективность является решающим критерием качества оценивания, поскольку совмещает в себе два критерия.

Основным методом получения оценок параметров по данным выборки является метод максимального правдоподобия. Согласно ему в качестве оценки принимается такое ее значение, которое максимизирует функцию правдоподобия L:

L(x1, x2, ... , xn, Q) = P ji(xi, Q).

(1.38)

Функция L есть плотность вероятности (вероятность) совместного появления данных выборки x₁, x₂, ... , x_n, Получаемая из выражения Arg(L(x₁, x₂, ... , x_n, Q) max) = оценка такова, что имеющиеся у нас наблюдения являются наиболее правдоподобными.

Достоинство метода максимального правдоподобия: получаемые с его помощью оценки состоятельны, асимптотически (при n®¥) эффективны и имеют асимптотически (при n®¥) нормальный ЗР.

Пусть имеется выборка x₁, x₂, ... , x_n, по которой методом максимального правдоподобия оцениваются параметры распределения СВ Х. Тогда:

выборочная средняя = ån_ix_i/n,

выборочная дисперсия s² = ån_i(x_i - )²/n,

выборочная доля w=m/n.

Здесь и w - несмещенные, состоятельные и эффективные (для нормально распределенной генеральной совокупности) оценки для МО а и вероятности р, а s² - смещенная, но состоятельная оценка дисперсии s².

Обычно в качестве оценки используется исправленная выборочная дисперсия, которая является несмещенной и состоятельной оценкой дисперсии s².

.

Мы рассмотрели точечные оценки параметров. Помимо них существуют интервальные оценки.

Интервальной оценкой параметра Q называется интервал ( , ), который с заданной вероятностью g накрывает неизвестное значение параметра Q. Интервал ( , ) называется доверительным, а вероятность g - доверительной вероятностью (надежностью) оценки. Величина доверительного интервала уменьшается с ростом объема выборки n и растет с ростом доверительной вероятности g.

Пример построения доверительного интервала. Пусть x₁, x₂, ... , x_n, -выборка, полученная случайным отбором с повтором из генеральной совокупности с НЗР. Пусть и - средние выборочная и генеральная, s - выборочное СКО, - СКО выборочной средней. Поскольку статистика ( - )/ = ( - ) имеет t-распределение Стьюдента с n-1 степенями свободы, доверительный интервал для генеральной средней с доверительной вероятностью g будет таким:

( - tg, n-1 , + tg, n-1 ).

(1.39)