Точечные и интервальные оценки

Статистическую оценку θ * параметра θ,которая определяется одним числом, называют точечной.

Оценка называется несмещенной, если М(θ *) = θ при любом объеме выборки. В противном случае оценка называется смещенной.

Оценка θ * параметра θ называется состоятельной, если при возрастании числа наблюдений n дисперсия оценки стремиться к нулю: Точечные и интервальные оценки - student2.ru*) = 0.

Оценка θ * параметра θ называется эффективной, если она несмещенная и имеет наименьшую дисперсию по сравнению с другими оценками параметра θ при заданном объеме выборки n.

Точечные оценки математического ожидания и дисперсии:

1.Состоятельная несмещенная оценка математического ожидания генеральной совокупности по выборке объема n:

Точечные и интервальные оценки - student2.ru варианта выборки, Точечные и интервальные оценки - student2.ru частота варианты Точечные и интервальные оценки - student2.ru , Точечные и интервальные оценки - student2.ru объем выборки.  
Точечные и интервальные оценки - student2.ru , где

2.Состоятельная несмещенная оценка дисперсии генеральной совокупности по выборке объема n при неизвестном математическом ожидании:

Точечные и интервальные оценки - student2.ru «исправленная дисперсия»

3.Состоятельная несмещенная оценка дисперсии генеральной совокупности по выборке объема n при известном математическом ожидании а генеральной совокупности:

Точечные и интервальные оценки - student2.ru

4.Состоятельная смещенная оценка дисперсии генеральной совокупности по выборке объема n при неизвестном математическом ожидании:

Точечные и интервальные оценки - student2.ru

Свойства точечных оценок:

1о. Точечные и интервальные оценки - student2.ru . 2о. а) Точечные и интервальные оценки - student2.ru б) Точечные и интервальные оценки - student2.ru .

3о. Если Точечные и интервальные оценки - student2.ru , где с – некоторая константа, то а) Точечные и интервальные оценки - student2.ru ; б) Точечные и интервальные оценки - student2.ru , где Точечные и интервальные оценки - student2.ru .

Интервальнойназывают оценку, которая определяется двумя числами Точечные и интервальные оценки - student2.ru концами интервала, покрывающего оцениваемый параметр θ с вероятностью Точечные и интервальные оценки - student2.ru , где Точечные и интервальные оценки - student2.ru заданное число, Точечные и интервальные оценки - student2.ru ; т.е. p (θ ∈( Точечные и интервальные оценки - student2.ru )) Точечные и интервальные оценки - student2.ru .

Интервал Точечные и интервальные оценки - student2.ru называется доверительным интервалом, а число Точечные и интервальные оценки - student2.ru надежностью или уровнем доверия.

Квантилем уровня рназывается числоТочечные и интервальные оценки - student2.ru ,такое чтоТочечные и интервальные оценки - student2.ru, где Точечные и интервальные оценки - student2.ru функция распределения параметра Х генеральной совокупности.

Интервальные оценки математического ожидания а и дисперсии D нормально распределенной генеральной совокупности по выборке объема n с надежностью Точечные и интервальные оценки - student2.ru

1*. При известном среднем квадратическом отклонении Точечные и интервальные оценки - student2.ru генеральной совокупности

Точечные и интервальные оценки - student2.ru , где Точечные и интервальные оценки - student2.ru значение аргумента функции Лапласа Точечные и интервальные оценки - student2.ru , при котором Точечные и интервальные оценки - student2.ru

или Точечные и интервальные оценки - student2.ru , где Точечные и интервальные оценки - student2.ru точность оценки.

2*. При неизвестном среднем квадратическом отклонении (и объеме выборки Точечные и интервальные оценки - student2.ru )

Точечные и интервальные оценки - student2.ru , где Точечные и интервальные оценки - student2.ru (см. п.2).

Точечные и интервальные оценки - student2.ru квантиль распределения Стьюдента уровня p с k степенями свободы (находится по таблице).

3*.При неизвестном среднем квадратическом отклонении

уровня p с k степенями свободы.
Точечные и интервальные оценки - student2.ru , где Точечные и интервальные оценки - student2.ru квантиль распределения Пирсона Точечные и интервальные оценки - student2.ru

4*.При известном математическом ожидании а

Точечные и интервальные оценки - student2.ru

Задачи

1.Доказать, что если Точечные и интервальные оценки - student2.ru большие числа, и ввести условные варианты Точечные и интервальные оценки - student2.ru , где Точечные и интервальные оценки - student2.ru , то Точечные и интервальные оценки - student2.ru (свойство 3о а).

2.Найти состоятельную несмещенную оценку М * и D*по данному распределению выборки объема Точечные и интервальные оценки - student2.ru , используя свойство 3о а:

Точечные и интервальные оценки - student2.ru
Точечные и интервальные оценки - student2.ru

3.Доказать, что 1) Точечные и интервальные оценки - student2.ru (свойство 1о); 2) Точечные и интервальные оценки - student2.ru (свойство 2о).

4.По выборке объема 41 найдена смещенная оценка дисперсии Точечные и интервальные оценки - student2.ru , найти несмещенную оценку Точечные и интервальные оценки - student2.ru дисперсии генеральной совокупности.

5.Доказать, что при больших Точечные и интервальные оценки - student2.ru и Точечные и интервальные оценки - student2.ru , где Точечные и интервальные оценки - student2.ru Точечные и интервальные оценки - student2.ru (свойство 3об).

6.Найти состоятельную несмещенную оценку дисперсии генеральной совокупности по распределению выборки объема Точечные и интервальные оценки - student2.ru , используя свойство 3об:

Точечные и интервальные оценки - student2.ru
Точечные и интервальные оценки - student2.ru

7.Найти доверительный интервал для оценки с надежностью 0,99 неизвестного математического ожи­дания а нормально распределенного признака X гене­ральной совокупности, если известны генеральное сред­нее квадратическое отклонение Точечные и интервальные оценки - student2.ru , выборочная средняя Точечные и интервальные оценки - student2.ru и объем выборки п =16.

8.Найти минимальный объем выборки, при кото­ром с надежностью 0,975 точность оценки математиче­ского ожидания а генеральной совокупности по выбороч­ной средней равна Точечные и интервальные оценки - student2.ru , если известно среднее квад­ратическое отклонение Точечные и интервальные оценки - student2.ru нормально распределенной генеральной совокупности.

9.Из генеральной совокупности извлечена выборка объема n = 10:

Точечные и интервальные оценки - student2.ru -2
Точечные и интервальные оценки - student2.ru

Оценить с надежностью 0,95 математическое ожида­ние а и дисперсию D нормально распределенного признака генеральной совокупности по выборочной средней при помощи доверительных интервалов.

Д/з

1.Найти состоятельную несмещенную оценку М * по данному распределению выборки объема Точечные и интервальные оценки - student2.ru :

Точечные и интервальные оценки - student2.ru
Точечные и интервальные оценки - student2.ru

2.По выборке объема 51 найдена смещенная оценка дисперсии Точечные и интервальные оценки - student2.ru , найти несмещенную оценку дисперсии генеральной совокупности.

3. Найти состоятельную несмещенную оценку дисперсии генеральной совокупности по распределению выборки объема Точечные и интервальные оценки - student2.ru

Точечные и интервальные оценки - student2.ru
Точечные и интервальные оценки - student2.ru

4.Найти доверительный интервал для оценки с надежностью 0,99 неизвестного математического ожи­дания а нормально распределенного признака X гене­ральной совокупности, если известны генеральное сред­нее квадратическое отклонение Точечные и интервальные оценки - student2.ru , выборочная средняя Точечные и интервальные оценки - student2.ru и объем выборки п =25.

5.Из генеральной совокупности извлечена выборка объема n = 12:

Точечные и интервальные оценки - student2.ru -0,5 -0,4 -0,2 0,2 0,6 0,8 1,2 1,5
Точечные и интервальные оценки - student2.ru

Оценить с надежностью 0,95 математическое ожидание а и дисперсию D нормально распределенного признака генеральной сово­купности с помощью доверительных интервалов.

Наши рекомендации