Бесконечно малые и бесконечно большие функции

Опр.: Функция называется бесконечно малой при , если .

В записи « » будем предполагать, что x₀ может принимать как конечное значение: x₀ = Сonst, так и бесконечное: x₀ = ∞.

Свойства бесконечно малых функций:

1) Алгебраическая сумма конечного числа бесконечно малых при функций является бесконечно малой при функцией.

2) Произведение конечного числа бесконечно малых при функций является бесконечно малой при функцией.

3) Произведение ограниченной функции на бесконечно малую функцию является бесконечно малой функцией.

4) Частное от деления бесконечно малой при функции на функцию, предел которой отличен от нуля, является бесконечно малой при функцией.

Пример: Функция y = 2 + x является бесконечно малой при , т.к. .

Опр.: Функция называется бесконечно большой при , если .

Свойства бесконечно больших функций:

1) Сумма бесконечно больших при функций является бесконечно большой при функцией.

2) Произведение бесконечно большой при функции на функцию, предел которой отличен от нуля, является бесконечно большой при функцией.

3) Сумма бесконечно большой при функции и ограниченной функции является бесконечно большой функцией.

4) Частное от деления бесконечно большой при функции на функцию, имеющую конечный предел, является бесконечно большой при функцией.

Пример: Функция y = является бесконечно большой при , т.к. .

Теорема.Связь между бесконечно малыми и бесконечно большими величинами. Если функция является бесконечно малой при , то функция является бесконечно большой при . И обратно, если функция является бесконечно большой при , то функция является бесконечно малой при .

Отношение двух бесконечно малых принято обозначать символом , двух бесконечно больших - символом . Оба отношения являются неопределёнными в том смысле, что их предел может как существовать, так и не существовать, быть равным некоторому числу или быть бесконечным в зависимости от вида конкретных функций, входящих в неопределённые выражения.

Кроме неопределённостей вида и неопределёнными являются следующие выражения:

- разность бесконечно больших одного знака;

- произведение бесконечно малой на бесконечно большую;

- показательно-степенная функция, основание которой стремится к 1, а показатель – к ;

- показательно-степенная функция, основание которой является бесконечно малой, а показатель – бесконечно большой;

показательно-степенная функция, основание и показатель которой являются бесконечно малыми;

- показательно-степенная функция, основание которой является бесконечно большой, а показатель – бесконечно малой.

Говорят, что имеет место неопределенность соответствующего вида. Вычисление предела называют в этих случаях раскрытием неопределенности. Для раскрытия неопределенности выражение, стоящее под знаком предела, преобразуют к виду, не содержащему неопределенности.

При вычислении пределов используют свойства пределов, а также свойства бесконечно малых и бесконечно больших функций.

Рассмотрим примеры вычислений различных пределов.

1) . 2) .

3) .

4) , т.к. произведение бесконечно малой функции при на ограниченную функцию является бесконечно малой.

5) . 6) .

7) = =

. В данном случае имела место неопределенность типа , которую удалось раскрыть с помощью разложения многочленов на множители и сокращения на общий множитель .

8) =

= .

В данном случае имела место неопределенность типа , которую удалось раскрыть с помощью умножения числителя и знаменателя на выражение , использования формулы , и последующего сокращения дроби на ( +1).

9) . В данном примере неопределенность типа была раскрыта почленным делением числителя и знаменателя дроби на старшую степень .

Замечательные пределы

Первый замечательный предел: .

Доказательство. Рассмотрим единичную окружность (рис.3).

Рис.3. Единичная окружность

Пусть х – радианная мера центрального угла МОА ( ), тогда ОА = R = 1, МК = sin x, AT = tg x. Сравнивая площади треугольников ОМА, ОТА и сектора ОМА, получим:

,

или

,

откуда

.

Разделим последнее неравенство на sin x, получим:

.

Так как при , то по свойству 5) пределов

при .

Откуда и обратная величина при , что и требовалось доказать.

Замечание: Если функция является бесконечно малой при , т.е. , то первый замечательный предел имеет вид:

.

Рассмотрим примеры вычислений пределов с использованием первого замечательного предела.

1) .

2) .

При вычислении этого предела использовали тригонометрическую формулу: .

3)

.

4) .

Второй замечательный предел: ,

где e — иррациональное число, приблизительно равное 2,72.

Доказательство. Рассмотрим график функции y = ln x (рис.4).

Рис.4. График функции y = ln x

Проведём в точке х = 1 к графику касательную. Её уравнение имеет вид: у = х – 1. Следовательно, .

Пусть АС = h, тогда ВС = ln(1+ h).

Рассмотрим прямоугольный треугольник АВС.

.

Если , то , , т.е. .

Откуда при . Заменив h на х, получим второй замечательный предел, что и требовалось доказать.

Замечания: 1) Второй замечательный предел можно записать в виде:

.

2) Из второго замечательного предела вытекают следующие пределы:

; ; ; .

3) Если функция является бесконечно малой при , т.е. , то второй замечательный предел можно записать в виде:

.

Рассмотрим примеры вычислений пределов с использованием второго замечательного предела.

2) .

3) . Имеет место неопределенность типа [1^µ]. Сделаем замену , тогда ; при .