Понятие о квантовой теории Дебая для теплоемкости твердых тел

В теории Дебая (1912 г.), далее развитой Борном, кристалл рассматривается как сплошное (непрерывное) упругое тело (атомы которого очень сильно связаны между собой), участвующее в колебаниях со всевозможными частотами. Тепловые колебания отождествляются с упругими стоячими волнам в теле. Простейшей аналогией таких колебаний являются колебания натянутой струны. Число возможных колебательных состояний принимается равным числу степеней свободы ,причем берутся наиболее медленные, т.е. основные колебания. Частоты этих, так называемых нормальных колебаний, весьма различны, начиная от низких, в сотни герц, и кончая инфракрасными, порядка Гц. Суперпозиция этих колебаний с различными случайными амплитудами и фазами дает тепловое движение твердого тела. Величина энергии этого движения .

Вычисление нормальных частот является весьма трудной задачей. Результаты вычисления хорошо совпадают с опытом.

Из теории Дебая следует, что при очень низких температурах теплоемкость одноатомного твердого тела пропорциональна третьей степени абсолютной температуры:

(2-7.10)

Это закон кубов Дебая, который хорошо объясняет ход теплоемкости вблизи абсолютного нуля. Внутренняя энергия твердого тела вблизи абсолютного нуля пропорциональна четвертой степени абсолютной температуры ( ). При высоких температурах теория Дебая привела к результатам, совпадающим с классическими результатами (закон Дюлонга и Пти) (рис. 2-7.2).

Рис. 2-7.2. Температурные зависимости теплоемкости различных веществ

Весьма важную роль в теории Дебая играет понятие характеристической температуры Дебая , начиная с которой теплоемкость быстро убывает с понижением температуры. Это та температура, при которой энергия тепловых движений становится равной максимальной энергии осцилляторов: , отсюда .

При температурах, значительно меньших , теплоемкость убывает пропорционально кубу температуры (”закон ”), что соответствует опытным данным. Температура Дебая может считаться границей между высокими и низкими температурами. При температурах выше теплоемкость следует классическому закону (см. рис. 2-7.2), ниже этой температуры для объяснения зависимости необходимо использовать квантовые представления. С точки зрения квантовой теории теплоемкости тот факт, что некоторые вещества (алмаз, бор и др.) не подчиняются закону Дюлонга и Пти даже при комнатных температурах, объясняется именно тем, что у этих веществ характеристическая температура Дебая настолько высока, что комнатная температура должна считаться низкой температурой. Так, если для серебра = 210 °С, для алюминия 400 °С, для свинца 90 °С, то характеристическая температура Дебая для алмаза равна 2000 °С. Вместе с тем, если температуру тела нормировать на температуру Дебая, то ход температурных зависимостей теплоемкости различных веществ, отнесенной к числу атомов в молекуле данного вещества n, весьма близок (рис. 2).

В табл.2-7.1 приведены численные значения температуры Дебая для некоторых простых и сложных кристаллических соединений.

Таблица.2-7.1.