Теорема умножения вероятностей

Предположим, что проводится испытание, заключающееся в бросании правильно выполненного игрального кубика два раза подряд. Возможные результаты такого испытания представим в виде таблицы:

1,1	1,2	1,3	1,4	1,5	1,6
2,1	2,2	2,3	2,4	2,5	2,6
3,1	3,2	3,3	3,4	3,5	3,6
4,1	4,2	4,3	4,4	4,5	4,6
5,1	5,2	5,3	5,4	5,5	5,6
6,1	6,2	6,3	6,4	6,5	6,6

В каждой ячейке таблицы первая цифра – результат первого бросания, вторая цифра – результат второго бросания.

Как видно из таблицы, возможны 36 вариантов исхода двукратного бросания кубика. Попробуем рассчитать вероятность выпадения два раза подряд числа 6. Для правильно выполненного кубика все приведенные в таблице исходы равновероятны и, следовательно, выпадение двух шестерок, как и выпадение любой другой пары одинаковых чисел, имеет вероятность, равную . Но , то есть вероятность выпадения подряд двух шестерок равна произведению вероятности выпадения числа 6 на самое себя. Данный пример иллюстрирует теорему умножения вероятностей:вероятность совместного появления независимых событий равна произведению их вероятностей.

Для случая двух независимых событий А и В:

Р(А и В)=Р(А)·Р(В).

Так как события А и В независимы, то каждому из m₁ случаев, благоприятствующих событию А, соответствуют m₂ случаев, благоприятствующих событию В. Таким образом, общее число случаев, благоприятствующих появлению событий А и В, равно, m₁· m₂ а общее число равновозможных событий равно n₁·n₂, где n₁ и n₂ – числа равновозможных событий соответственно для А и В. Отсюда вероятность совместного появления событий равна: .

Теорема умножения вероятностей усложняется, если определяется вероятность события, состоящего из совместного появления двух зависимых событий.

Вероятность наступления в некотором испытании одновременно двух зависимых событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную при условии, что первое события имело место:

Р(А и В)=Р(А)·Р(B/A)=Р(В)·Р(A/B) – формула Байеса

При решении задач необходимо:

1. Выяснить, являются ли эти события независимыми или зависимыми;

2. Определить вероятности каждого отдельного события;

3. Определить вероятность одновременного наступления этих событий.

Задача:

В урне находится 10 белых и 20 черных шаров. Определить вероятность вынимания двух белых шаров подряд.

Дано: Решение:

m₁ =10 Вероятность вынимания первого белого шара равна

m₂=20

n= m₁+ m₁ =30 Вероятность вынимания второго белого шара равна:

P(A и В )-?

Тогда вероятность вынимания двух белых шаров подряд будет:

Р(А и В)=Р(А)·Р(B/A)=0,33·0,31≈0,1

Задача:

Считая, что рождение девочки или мальчика – это независимые и равновозможные события, определить вероятность появления в семье подряд трех девочек.

Дано: Решение:

P(D)=0,5 Согласно теореме умножения вероятностей для

P(D₁ и D₂ и D₃)-? независимых событий:

Р(D₁ и D₂ и D₃)=[Р(D)]³=0,5³=0,125 (12,5%)