Поверхностный интеграл второго порядка
Определение. Если при стремлении к нулю шага разбиения поверхности S интегральные суммы, составленные как суммы произведений значений некоторой функции на площадь частичной поверхности, имеют конечный предел, то этот предел называется поверхностным интегралом второго рода
60. Стокса формула
Стокса формула, формула преобразования криволинейного интеграла по замкнутому контуру L в поверхностный интеграл по поверхности S, ограниченной контуром L. С. ф. имеет вид:
,
причём направление обхода контура L должно быть согласовано с ориентацией поверхности S. В векторной форме С. ф. приобретает вид:
,
где а = Pi + Qj + Rk, dr — элемент контура L, ds — элемент поверхности S, n — единичный вектор внешней нормали к этой поверхности. Физический смысл С. ф. состоит в том, что циркуляциявекторного поля по контуру L равна потоку вихря поля через поверхность S. С. ф. предложена Дж. Г.Стоксом в 1854.
61. Фо́рмула Острогра́дского — математическая формула, которая выражает поток векторного поля через замкнутую поверхность интегралом от дивергенции этого поля пообъёму, ограниченному этой поверхностью:
то есть интеграл от дивергенции векторного поля 
, распространённый по некоторому объёму 
, равен потоку вектора через поверхность 
, ограничивающую данный объём.
Формула применяется для преобразования объёмного интеграла в интеграл по замкнутой поверхности.
63. Скалярные и векторные поля.
- определение производной функции (скалярного поля) и(М) в точке М по направлению 
.
- определение производной вектор-функции (векторного поля) 
в точке М по направлению l
Пусть функция 
задана в некоторой области пространства 
, 
. Поверхность в пространстве , определённая уравнением 
, где 
-- постоянная, называется поверхностью уровня функции . Если 
, то множество, заданное уравнением 
, называется линией уровня.
64. Оператор 
(16.1)
называется оператором Гамильтона или набла-оператором и обозначается символом s
(«набла»).
Векторное поле называется соленоидальным или вихревым, если через любую замкнутую поверхность S его поток равен нулю:
.
Для того чтобы поле было соленоидальным, необходимо и достаточно, чтобы поток через любую замкнутую поверхность равнялся нулю.
Потенциальное (или безвихревое) векторное поле в математике — векторное поле, которое можно представить как градиент некоторой скалярной функции координат (потенциала). Необходимым условием потенциальности векторного поля в трёхмерном пространстве является равенство нулю ротора поля.
,
то есть для сил потенциалом 
является 
. Когда U не зависит от времени, оно является потенциальной энергией, и тогда знак «-» возникает просто по определению. В противном случае знак сохраняется ради единообразия
дивергенция — это линейный дифференциальный оператор на векторном поле, характеризующий поток данного поля через поверхность малой окрестности каждой внутренней точки области определения поля.
