Эффективная масса носителей заряда

Рассмотрим движение электрона в кристаллической решетке. Что случится, если ускоряющийся электрон окажется внутри кристаллической решетки?

Рассмотрим это, используя квазиклассический подход, который наполовину классический, наполовину квантово-классический. Квантовомеханической является формула, согласно которой скорость электрона в решетке равна его групповой скорости:

(1)

(скорость распространения волнового пакета).

Классическим является определение работы внешней силы над рассматриваемым электроном, которое приводит к уменьшению энергии электрона:

, откуда или (2)

откуда ( )

Внешняя сила вызывает ускорение электрона:

(3)

или

Перепишем: (4)

Т.е. по аналогии с законом Ньютона, величину можно назвать массой электрона.

(5)

Величину называют эффективной массой.

Эффективная масса есть лишь коэффициент пропорциональности в законе, связывающем внешнюю силу, действующую на электрон в кристалле с его ускорением.

Рассмотрим свойства эффективной массы:

1) Возьмём первую зону Брюллеэна.

Последовательно дифференцируя графически кривую E=f(k) построим зависимость m*=f(k).

Величина m* может быть отрицательной и стремится к при .

Вывод: Частица, находящаяся внутри идеальной периодической решетке может иметь положительную и отрицательную эффективную массу.

Сравним а) и г): Если кривая ни диаграмме E-k имеет выпуклость вниз, то масса m*>0 . Если же кривая имеет выпуклость вверх (около ) => =>m*<0! В этом случае частица будет ускоряться в направлении, противоположном направлению движения электрона; т.е. будет вести себя как некоторая частица, с положительным зарядом и положительной массой.

Эту частицу назовём дыркой.

Далее будем обозначать массы электрона и дырки, как и .

Понятие дырки уясним из следующего примера:

Предположим, имеется приток энергии к полупроводнику (нагрев, облучение и др.). Энергия передаётся электрону в валентной зоне, он переходит в зону проводимости. На потолке валентной зоны образуется незанятое место. Оно может заполниться, если электрон с меньшей энергией (2) (в валентной зоне) получит энергию и перейдёт в позицию (1). Затем (3) > (2) и т.д. по эстафете. При таком перемещении электронов, освобождающийся энергетический уровень движется вниз, вглубь валентной зоны. Освобождающийся уровень и отождествляется некой фиктивной частицей, которая имеет равный по значению, но противоположный по знаку заряд, по сравнению с электроном. Эта частица и есть дырка.

Дырки с наименьшей энергией располагаются у потолка валентной зоны. Иными словами, для дырок и электронов отсчет энергии идёт в противоположных направлениях. Энергетический спектр приобретает вид, изображённый на рисунке:

Пример с пузырьком воздуха в воде и пузырьком воды в воде .

Поскольку в разных направлениях в кристаллической решётке зависимость Е – k –различается, поэтому минимум зоны проводимости и максимум валентной зоны могут соответствовать различным значениям волнового вектора .