Вычисление двойного интеграла в полярной системе координат

Во многих задачах , требующих применения двойных интегралов, прямоугольная система координат не является наилучшей.

Поэтому следует уметь переходить от одной системы координат к другой , более удобной , например , полярной .

Если 1) подынтегральная функция или 2) уравнение границы области интегрирования В содержит сумму , то в большинстве случаев упрощение интеграла достигается преобразованием его к полярным координатам , т.к. в полярных координатахх.

.

Рассмотрим , как двойной интеграл в прямоугольных координатах преобразовать в двойной интеграл в полярных координатах.

Пусть имеем двойной интеграл

,

где функция f(x,y) непрерывна в замкнутой области D .

Будем считать , что область D такова , что любая прямая , проходящая через начало координат , пересекает границу области более , чем в 2-х точках.

Преобразуем интеграл от прямоугольных координат к полярным координатам r и q .

При выводе формулы преобразования мы воспользуемся , хотя и не вполне строгим ,но простым и наглядным геометрическим методом рассуждений .

Отнесём область D к полярным координатам , приняв ось ОХ за полярную ось , а начало координат за полюс .

В этом случае , как легко установить , прямоугольные координаты точки связаны с полярными координатами следующим соотношениями :

Для того , чтобы получить все точки плоскости ОХУ , достаточно , очевидно, ограничиться знчениями r³ 0 и 0 £q£ 2p.

По определению двойной интеграл

.

Поскольку этот предел не зависит от способа разбиения области D на частичные области , то мы можем разбить область D по своему усмотрению.

Рассмотрим такое дробление области D , чтобы легче было осуществить преобразование двойного интеграла к полярным координатам .

Разобъём область D на частичные области с помощью 1) концентрических окружностей с центром в полюсе и 2) лучей , исходящих из полюса О.

Пусть этому разбиению области D отвечает интегральная сумма

( Площади частичных областей D_i( i =1,2, . . . , n) обозначим через DS_i ).

Частичная область D_i представляет собой криволинейную фигуру, ограниченную двумя дугами концентрических окружностей радиусов r_i и r_i+1 и двумя отрезками лучей .

.

Обозначим ( Средний радиус между r_i и r_i+ Dr_i).

Тогда .

Для составления интегральной суммы для функции f(x,y) в качестве точек ( x_i ,h_i ) областей D_i выбираем точки , лежащие на средних окружностях радиуса r_i .

Согласно формулам для произвольно выбранной т. ( x_i ,h_i ) будем иметь

(взяли , т.к. точка находится на окружности радиуса ).

Угол q_i – между полярной осью и лучом , проходящим через т. ( x_i ,h_i )

Тогда

В пределе получим :

Т.к. слева в равенстве стоит интегральная сумма для непрерывной функции f (x,y) , а справа – интегральная сумма также для непрерывной функции f(rcosq, rsinq)r , то пределы этих сумм существуют и равны соответствующим двойным интегралам .

Подставив в сумму получим

.

Его можно сформулировать так :

Правило преобразования .

Для того чтобы преобразовать двойной интеграл в прямоугольных координатах в интеграл в полярных координатах , нужно :

1) в подынтегральной функции f(x,y) заменить х и у соответственно через rcosq и rsinq;

2) элемент площади dxdy в прямоугольных координатах заменить произведением rdrdq( которое называют элементом площади в полярных координатах ).

Сначала отмечают крайние значения a и b полярного угла q .

Угол a соответствует точке А , угол b – точке В контура . точки А и В разбивают контур ( границу области D) на 2 части : АСВ и ВЕА, уравнения которых соответственно обозначают через r₁ = r₁( q ) и r₂ = r₂( q ) , где r₁( q ) и r₂( q ) – непрерывные функции , заданные на сегменте [a,b] . Следовательно, область D ограничена 1) линиями

r₁ = r₁( q ) – уравнение АСВ,

r₂ = r₂( q ) – уравнение ВЕА и

2) двумя лучами , образующими с полярной осью углы a и b ; причём a<b ; r₁( q ) и r₂( q ) – непрерывные функции .

Следовательно , пределы внешнего интеграла будут a и b . Найдём пределы внутреннего интеграла .Для этого фиксируем произвольное значение угла q между a и b , затем из полюса О под углом q проводим луч ОЕ.

Точка входа этого луча в области D лежит на линии r₁ = r₁( q ) , а точка выхода его из области D лежит на линии r₂ = r₂( q ) .

Уравнения этих линий и дают соответственно нижний и верхний пределы внутреннего интеграла :

. (

Пример 6.8.7.

Перейти к полярным координатам и расставить пределы интегрирования в следующем интеграле :

.

Решение

.

Пример6.8.8.Вычислить двойной интеграл ,

где область D есть кольцо , заключенное между окружностями х² + у² = е² и х² + у² = 1 .

y

x

Пример 6.8.9.Вычислить , где (D) область , ограниченная полярной осью и кривой с дополнительным условием : полярный угол .

Решение .

Кривая - лемниската . Определим , как изменяется угол j в области D . С увеличением угла j ( при условии j<p/2) полярный радиус r уменьшается . При некотором значении j он становится равным нулю . Найдём это значение j .

Подставим в уравнение лемнискаты r = 0 и получим уравнение для определения j :

( учтено условие , что j<p/2 ).

Таким образом , в области D полярный угол изменяется от 0 до p/4 .

Переменная r изменяется в области D от r= 0 до , по формуле

.