Следствие из теоремы умножения 1

Для независимых событий и (2.1) имеет вид

(2.6)

Пример:

1. В урне 2 белых и 3 черных шара. Из урны вынимают подряд два шара (события и ). Найти вероятность того, что оба шара белые .

Решение.

. По (2.1)

2. Те же условия, но после первого вынимания шар возвращается в урну, и шары в урне перемешиваются.

Решение.

По (2.6)

Теорема умножения 2

Вероятность произведения нескольких событий , , …, равна произведению вероятности одного из них на условные вероятности всех остальных, причем вероятность каждого последующего события вычисляется в предположении, что все предыдущие уже появились

(2.7)

Следствие из теоремы умножения 2.

Вероятность произведения нескольких событий , , …, , независимых в совокупности, равна произведению вероятностей этих событий

(2.8)

Пример:

1. В урне 5 белых, 4 черных и 3 синих шара. Из урны вынимают подряд 3 шара. Найти вероятность того, что все 3 шара будут разноцветными.

Решение.

- вытащить первым белый шар;

- вытащить вторым черный шар;

- вытащить третьим синий шар.

По (2.7)

2. Те же условия, но после каждого

вынимания шар возвращается в урну, и шары в урне перемешиваются.

Решение.

По (2.8)

Теорема сложения вероятностей

Суммой двух событий

и называется событие , состоящее в появлении события , события , или обоих вместе. Для несовместных событий - появление либо , либо , т.е. только одного из двух событий.

Суммой нескольких событий называется событие ,состоящее в появлении хотя бы одного из (для несовместных событий – только одного).

Пример:

1.Если - попадание в цель при первом выстреле, событие - попадание в цель при втором выстреле, то событие есть попадание в цель вообще, безразлично при каком выстреле – при первом, при втором или при обоих вместе.

2. Если опыт состоит в пяти выстрелах

по мишени и рассматриваются события

- ни одного попадания;

- ровно одно попадание;

- ровно два попадания;

- ровно три попадания;

- ровно четыре попадания;

- ровно пять попаданий;

то есть событие «не более двух попаданий»;

а - событие «не менее трех попаданий»

Теорема сложения 1

Вероятность суммы двух совместных событий и равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления.

(2.10)

Если и - зависимые события, то (2.10) принимает вид

(2.11)

Если и - независимые события, то (2.10) имеет вид.

(2.12)

Вероятность суммы двух несовместных событий и равна сумме вероятностей

этих событий

(2.13)

Формулу (2.13) можно рассматривать как частный случай (2.10), т.к. для несовместных событий .

Пример.Вероятность попадания в цель при стрельбе первого и второго стрелка соответственно равны.

, . Найти вероятность попадания хотя бы одним стрелком при одновременном выстреле.

Решение.

- попадание первого стрелка;

- попадание второго стрелка.

По (2.12)

, т.к.

и являются совместными и независимыми

Теорема сложения 2

В виду громоздкости общей формулы расчета вероятности суммы совместных событий, рассмотрим частный случай теоремы сложения для трех событий , , (2.14)

Для нескольких несовместных событий вероятность их суммы равна

(2.15)

Пример.В партии из изделий изделий бракованных. Для контроля из партии наугад берут изделий. Какова вероятность того, что среди них будет не больше бракованных (событие )?

Решение.

- среди взятых на проверку изделий ни одного бракованного;

- среди взятых на проверку изделий одно бракованное;

…

- среди взятых на проверку изделий бракованных изделий.

Тогда . Т.к. , , …, - несовместные события, то по (2.15).

Вероятность события вычисляем по (1.7):

, ,

Т.о.