Теоремы умножения вероятностей

Произведение двух событий состоит из тех элементарных событий, которые благоприятствуют и первому, и второму событию, то есть принадлежат их пересечению АВ = А ∩ В. Вероятность произведения событий зависит от того, являются ли эти события зависимыми или независимыми. События А и В называются независимыми, если вероятность каждого из них не зависит от того, произошло или нет другое событие. Вероятности независимых событий А и В называются безусловными; и вероятность произведения таких событий равна произведению их вероятностей

Р(АВ) = Р(А) Р(В) (1)

(4.1)

Вероятность совместного появления нескольких независимых событий в совокупности равна произведению вероятностей этих:

P(A₁ А₂ .. А_n) = P(A₁) Р(А₂) …· Р(А_n) (1.1)

События А и В зависимые, если вероятность одного из событий зависит от появления или непоявления другого. Вероятность события В, вычисленная в предположении, что А уже осуществилось, называется условной вероятностью и обозначается Р_А(В).

Вероятность произведения двух зависимых событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого:

Р(АВ) = Р(А)Р_А(В) или Р(АВ) = Р(В)Р_В(А). (2)

Вероятность совместного появления нескольких зависимых событий (произведения событий) равна произведению вероятности одного из них на условные вероятности всех остальных, причем вероятность каждого последующего события вычисляется в предположении, что предыдущие события уже произошли (теорема умножения вероятностей для зависимых событий):

Р(А₁ А₂ ..... А_n) = P(A₁) P_A1 (A₂)Р _{А1 А2} (А₃) ..... P _{A1 А2 .... An-1} (A_n) (2.1)

Теорема сложения вероятностей

В общем случае вероятность суммы двух событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного наступления и определяется по формуле:

(3)

Очевидно, что если события несовместны, то вероятность их совместного наступления равна нулю. Поэтому для двух несовместных событий вероятность их суммы равна сумме вероятностей этих событий:

Р(А + В) = Р(А) + Р(В) (4)

Вероятность появления одного из нескольких попарно несовместных событий, безразлично какого, равна сумме вероятностей этих событий:

Р(А₁ + А₂ +.... +А_n) = Р(А₁) + Р(А₂) + ... + Р(А_n) (4.1)

Формулы для определения вероятности суммы большего числа совместных событий достаточно громоздки. Если число событий возрастает, то часто бывает удобнее использовать вероятность противоположных событий. В самом деле, событие, состоящее в том, что наступит хотя бы одно из нескольких элементарных событий, противоположно событию - «не наступит ни одно из них», поэтому можно использовать формулу:

Р(А₁ + А₂ + ... + А_n) = 1- Р(Ā₁ Ā₂ … Ā_n) (5)

Примеры по выполнению практической работы

Пример 1.Имеется три ящика, содержащих по 10 деталей, причем в первом ящике- 8, во втором – 7 и в третьем – 9 стандартных деталей. Из каждого ящика наудачу вынимают по одной детали. Найти вероятность того, что все три вынутые детали будут стандартные.

Решение: вероятность того, что из первого ящика вынута стандартная деталь (событие А) равна . Вероятность того, что из второго ящика вынута стандартная деталь (событие В) равна .Вероятность того, что из третьего ящика вынута стандартная деталь (событие С) равна . Событие «все три вынутые детали будут стандартные» -есть произведение событий А, В,С. Т.к. события А, В, С – попарно независимы , то по теореме умножения вероятностей для независимых событий имеем:

.

Пример 2. В вазе лежит 3 шоколадных и 7 вафельных конфет. Наудачуберется одна конфета, затем другая. Найти вероятность того, что первая конфета была шоколадной, а вторая – вафельной?

Решение: вероятность того, что первая конфета - шоколадная (событие А) . Вероятность того, что вторая конфета – вафельная, вычисленная в предположении, что первая конфета была шоколадной, т.е. условная вероятность равна . Т.е. по теореме умножения для зависимых событий имеем: Р(АВ) = Р(А)Р_А(В) =

Пример 3.В урне 5 белых, 4 черных и 3 синих шара. Каждое испытание состоит в том, что наудачу извлекают один шар, не возвращая его обратно. Найти вероятность того, что при первом испытании извлечен белый шар (событие А), при втором - черный шар (событие В), при третьем – синий (событие С)?

Решение: Вероятность появления белого шара в первом испытании равна . Вероятность появления черного шара во втором испытании, вычисленная в предположении, что при первом испытании вынут белый шар, т.е. условная вероятность равна . Вероятность появления синего шара в третьем испытании, вычисленная в предположении, что при первом испытании вынут белый шар, а при втором – черный, т.е. условная вероятность равна .Окончательно имеем:

Р(АВС) = Р(А)Р_А(В)Р_АВ(С)=

Пример 4.На стеллаже в библиотеке в случайном порядке расставлены 15 учебников, причем пять из них в переплете. Библиотекарь наудачу берет три учебника. Найти вероятность того, что хотя бы один из взятых учебников будет в переплете (событие А).

Решение: событие А - «хотя бы один из взятых учебников будет в переплете» будут осуществлено, если произойдет любое из трех несовместных событий: В – «один учебник в переплете», С- «два учебника в переплете» , В - «три учебника в переплете». Т.е. событие А=В+С+D. Тогда по теореме сложения вероятностей для несовместных событий имеем:

. Вычислим отдельно вероятности событий В, С, D:

.

Используя эти результаты, получим: .

Пример 5. Вероятность попадания в цель при стрельбе из трех орудий таковы: Найти вероятность хотя бы одного попадания (событие А) при одном залпе из всех орудий.

Решение: вероятность попадания в цель каждым из орудий не зависит от результатов стрельбы из других орудий, поэтому рассматриваемые события А₁ (попадание первого орудия), А₂ (попадание второго орудия), А₃ (попадание третьего орудия) – независимы в совокупности.

Вероятности событий, противоположных событиям А₁, А₂, А₃ (т.е. вероятности промахов) соответственно равны

Тогда искомая вероятность .

Задания для практического занятия:

Вариант 1

1. В ящике 10 деталей, среди которых четыре окрашены. Сборщик наудачу берет три детали. Найти вероятность того, что хотя бы одна из них окрашена;

2. Во время учебных маневров два танка пытаются прорваться в расположение противотанковой батареи «противника». Какова вероятность того, что будет подбит хотя бы один танк, если вероятность того, что будет подбит один танк равна 2/3, а два танка 2/5?

3. Два стрелка стреляют по мишени. Вероятность попадания в мишеньпри одном выстреле для первого стрелка равна 0,7, для второго – 0,8. Найти вероятность того, что при одном залпе в мишень попадет только один из стрелков.

4. В корзине 4 яблока, 3 лимона и 6 персиков. Каждое испытание состоит в том, что из корзины случайным образом падает один фрукт. Найти вероятность того, что из корзины при первом испытании выпадет яблоко, при втором – лимон, при третьем – персик.

5. В двух ящиках находятся детали: в первом - 12 (из 4 стандартных), во втором -10 (из них 7 стандартных). Из каждого ящика наудачу вынимают по одной детали. Найти вероятность того, что они обе будут стандартными.

Вариант 2

1. На полке в случайном порядке расставлено семь учебников, причем четыре из них - по математике. Студент наудачу берет два из них. Найти вероятность того, что хотя бы один из них – по математике.

2. Электронный прибор состоит из двух последовательно включенных блоков. Вероятность выхода из строя за 1 месяц работы первого блока равна 1/3, второго -1/4, а обоих – 1/6. Найдите вероятность бесперебойной работы прибора в течение месяца.

3. Для сигнализации об аварии установлены два независимо

работающих сигнализатора. Вероятность того, что при аварии сигнализатор сработает, равна 0,95 для первого сигнализатора и 0,9 для второго. Найти вероятность того, что при аварии сработает только один сигнализатор.

4. В ящике 4 белых, 7 синих и 3 красных мяча. Каждое испытание состоит в том, что из ящика случайным образом выкатывается один мяч. Найти вероятность того, что из ящика при первом испытании выкатится синий мяч, при втором – красный, а при третьем – белый;

5. В первой вазе находится 5 красных и 3 белых гвоздики, во второй – 4 красных и 8 белых гвоздики. Из каждой вазы наудачу берут по одной гвоздике. Какова вероятность того, что будут выбраны красные гвоздики.

Вариант 3

1. Из урны, содержащей 10 белых, 8 черных и 1 оранжевых шаров, наугад извлекают три шара. Найти вероятность того, что это будут шары одного цвета.

2. На тактических занятиях зенитная батарея стреляет по двум беспилотным самолетам. Найти вероятность того, что самолеты не будут сбиты, если вероятность сбить один самолет равна 1/2 , а два самолета – 1/8;

3. Отдел технического контроля проверяет изделия на стандартность. Вероятность того, что изделие стандартное, равна 0,9. Найти вероятность того, что из двух проверенных изделий только одно стандартное;

4. В коробке находится 6 синих, 4 красных и 6 зеленых флажков. Каждое испытаниесостоит в том, что из корзины случайным образом выбирается один флажок. Найти вероятность того, что при первом испытании будет выбран зеленый флажок, при втором – красный, а при третьем – синий;

5. В двух ящиках находятся детали: в первом 10 деталей (из них 7 окрашенных), во втором- 8 деталей (из них 5 окрашенных). Из каждого ящика наудачу выбирают по одной детали. Какова вероятность того, что обе будут окрашенные.

Вариант 4

1. В ящике 12 деталей, среди них 9 стандартных. Найти вероятность того, что среди наудачу извлеченных 2-х деталей окажется не более одной нестандартной детали.

2. Из чисел 1, 2,3,4…100 выбирают число. Найти вероятность того, что выбранное число делится хотя бы на одно из чисел: 4 и 6.

3. Вероятность того, что при измерении некоторой физической величины будет допущена ошибка, превышающая некоторую заданную точность, равна 0,4. Произведено два независимых измерения. Найти вероятность того, что только в одном из них допущенная ошибка превысит заданную точность.

4. На полке вперемежку расставлено 4 учебника по геометрии, 5 учебников по географии и 3 учебника по астрономии.Каждое испытание состоит в том, что библиотекарь случайным образом выбирает один учебник. Найти вероятность того, что при первом испытании будет выбран учебник по астрономии, при втором – по геометрии, а в третьем – по географии;

5. В студии телевидения 3 телевизионных камеры. Для каждой из них вероятность того, что она включена в данный момент равна 0,6. Найти вероятность того, что в данный момент ни одна из них не включена.

Контрольные вопросы

1. Что понимают под суммой нескольких событий?

2. Что понимают под произведением нескольких событий?

3. Какие события называются независимыми?

4. Какие случайные события называются зависимыми?

5. Чему равна вероятность совместного появления двух независимых событий?

6. Чему равна вероятность совместного появления двух зависимых событий?

7. Чему равна вероятность суммы двух, трех или несколь­ких случайных событий? От чего зависит формула веро­ятности суммы случайных событий?

8. Чему равна вероятность произведения двух, трех или нескольких случайных событий? От чего зависит форму­ла вероятности произведения случайных событий?

9. Дайте определение условной вероятности случайного события. Вероятности каких случайных событий можно вычислить по этой формуле?

Практическая работа № 5

«Построение графической диаграммы выборки, расчёт характеристик выборки»

Учебная цель:научиться строить графические диаграммы выборки, рассчитывать характеристики выборки

Образовательные результаты:

Студент должен

уметь:

- вычислять вероятности событий с использованием элементов комбинаторики;

знать:

- основы теории вероятностей и математической статистики;

Оборудование: рабочая тетрадь, ручка, методические рекомендации по выполнению практической работы, справочная литература.

Методические указания по выполнению работы:

1. Ознакомиться с теоретическим материалом по практической работе.

2. Рассмотрите образцы решения задач по теме.

3.Выполнить предложенное задание согласно варианту по списку группы.

4.Изучить условие заданий для практической работы и выполнить её.

5. Ответить на контрольные вопросы даются письменно, после решения заданий в тетради для практических работ. Во время выполнения работы обучающийся может пользоваться своим конспектом, а также учебной литературой и справочным материалом.

5. Оформить отчет о работе. Сделайте вывод.