Вопрос 28.Статическая межотраслевая модель В. Леонтьева. Основные соотношения
Рассмотрим математическую модель Леонтьева, которую он создал в 1973 году, на примере статической модели, так как она является общей.
Статистические межотраслевые модели используются для разработки планов выпуска и потребления продукции и основываются на соотношениях межотраслевого баланса.
При построении модели делают следующие предположения:
1) все продукты, производимые одной отраслью, однородны и рассматриваются как единое целое, т.е. фактически предполагается, что каждая отрасль производит один продукт;
2) в каждой отрасли имеется единственная технология производства;
3) нормы производственных затрат не зависят от объёма выпускаемой продукции;
4) не допускается замещение одного сырья другим.
В действительности эти предположения, конечно, не выполняются. Даже на отдельном предприятии обычно выпускаются различные виды продукции, используются различные технологии, удельные затраты зависят от объема выпуска и в тех или иных пределах допускается замена одного сырья другим. Следовательно, эти предположения тем более неверны для отрасли. Однако такие модели получили широкое распространение и, как показала практика, они вполне адекватны и применимы для составления планов выпуска продукции.
Введем следующие обозначения:
- общий (валовой) объем продукции i–й отрасли (i = 1,2,…,n);
- объем продукции i-й отрасли, потребляемой j-й отраслью в процессе производства (i,j = 1,2,…,,n);
- объем конечного продукта i-й отрасли для непроизводственного потребления. При этом величина xij может быть представлена следующим образом:
 | (3.3) |
Величина aij называется коэффициентом прямых материальных затрат. Она показывает, какое количество продукции i-й отрасли идет на производство единицы продукции j-й отрасли. Коэффициенты aij считаются в межотраслевой модели постоянными.
Подставляя выражение (3.3) в формулу (3.1), получим:
Это соотношение можно записать в матричном виде:
 , | (3.4) |
где X = (x1, x2, ..., xn) - вектор валовых выпусков;
Y = (y1, y2, ..., yn) - вектор конечного продукта;
- матрица коэффициентов прямых материальных затрат.
Уравнение (3.4) называется моделью Леонтьева. Интерпретируя выражение АХ как затраты, эту систему часто называют моделью «затраты выпуск».
Коэффициенты прямых материальных затрат являются основными параметрами статической межотраслевой модели. Их значения могут быть получены двумя путями:
1) Статистически. Коэффициенты определяются на основе анализа отчётных балансов за прошлые годы. Их неизменность во времени определяется подходящим выбором отраслей;
2) Нормативно. Предполагается, что отрасль состоит из отдельных производств, для которых уже разработаны нормативы затрат; на их основе рассчитываются среднеотраслевые коэффициенты.
Выражение (3.4) принято называть балансом распределения продукции. Его можно использовать для анализа и планирования структуры экономики. Если известны коэффициенты прямых материальных затрат, то, задав конечный продукт по каждой отрасли, можно определить необходимые валовые выпуски отраслей. В этом заложена основная идея использования матричных моделей для планирования производства.
Преобразуем выражение (3.4):
 , | (3.5) |
где E - единичная матрица.
До начала планирования следует выяснить, существует ли матрица, обратная матрице (E-A), и не будут ли получены отрицательные значения выпуска по отраслям.
Установим некоторые свойства коэффициентов прямых материальных затрат.
- Неотрицательность, то есть aij ≥ 0,
, 
. Это утверждение следует из неотрицательности величин xij и положительности валовых выпусков Xj. - Сумма элементов матрицы A по любому из столбцов меньше единицы, то есть
.
Докажем это утверждение.
Для любой отрасли условно чистая продукция есть величина положительная, поскольку включает в себя заработную плату, амортизацию, прибыль и т.д., т.е. Vj>0. Поэтому, используя соотношение (3.2), можно записать:
,
из соотношения (3.3):
,
откуда, безусловно, следует:
.
таким образом, утверждение доказано.
Можно показать, что при выполнении этих двух условий матрица B = (E - A)-1 существует и если ее элементы неотрицательны. Говорят, что в этом случае матрица прямых затрат А является продуктивной.
Перепишем формулу (3.5):
 | (3.6) |
Матрица В носит название матрицы полных материальных затрат, а ее элементы bij называют коэффициентами полных материальных затрат.
Коэффициент bij показывает, каков должен быть валовый выпуск i-й отрасли для того, чтобы обеспечить выпуск единицы конечного продукта j-й отрасли.
Можно показать, что
 | (3.7) |
Умножим обе части на (E - A):
,
,
,
,
.
Доказано.
Из соотношения (3.7) следует bij ≥ aij, , . Таким образом, коэффициент полных материальных затрат bij, описывающий потребность в выпуске продукции i-й отрасли в расчете на единицу конечного продукта j-й отрасли, не меньше коэффициента прямых материальных затрат aij, рассчитываемого на единицу валового выпуска.
Кроме того, из соотношения (3.7) для диагональных элементов матрицы B следует:
.
Т.о. следующие выводы:
- коэфф. прямых затрат (КПЗ); кол-во прод. i–ой отрасли, необход. для произв-ва ед. продукта j–ой отрасли,
- кол-во прод. i–ой отрасли, идущее в j–ую отрасль (межотраслевой поток)
-вал. объем продукции в j–ой отрасли
Экономич. и технологич. связи м/у i–ми и j–ми отраслями фиксированы, КПЗ не меняются при любом ур-не произв-ва.
Основное соотношение модели:
или в вектор. форме
X = AX + Y ( 2 ),
Где X – валовый продукт, Y – конечный продукт, А – матрица КПЗ
Данное соотношение позволяют найти решение (единственное). Возможны 3 способа решения системы (2) :
1) Заданы Y, A, наход. X
2) Заданы A, X, наход. Y
3) Со смешанным составом неизвестных