Статическая модель линейной многоотраслевой экономики Леонтьева. Продуктивность и прибыльность модели

Основой многих линейных моделей производства является схема межотраслевого баланса. Пусть производственный сектор народного хозяйства разбит на n чистых отраслей. Чистая отрасль – экономическая абстракция, не обязательно существующая реально в виде каких-то организационных форм типа министерства, треста, объединения. Так, под отраслью «электроэнергетика» можно понимать совокупность всех электростанций вне зависимости от их ведомственной принадлежности. Подобная идеализация позволяет провести детальный анализ сложившейся технологической структуры общественного производства и распределения. Предположим, что каждая отрасль выпускает продукт только одного типа и разные отрасли выпускают разные продукты. Таким образом, в рассматриваемой экономической системе выпускается п видов продуктов. В процессе производства своего вида продукта каждая отрасль нуждается в продукции других отраслей. Введем обозначения: числа от 1 до n – номера отраслей, величина a_ij – объем продукции отрасли с номером i, израсходованной отраслью j в процессе производства единицы продукции. Число x_j, равно общему объему продукции (ВВ) j-й отрасли за некоторый промежуток времени (например, плановый год), а значение y_i, показывает объем продукции j-й отрасли, который был потреблен в непроизводственной сфере (объем КП), числа x_ij – объем продукции i-й отрасли расходуемый отраслью j в процессе производства балансовые уравнения имеют вид:

(2.1)

Единицы измерения всех величин могут быть либо натуральными (тонны, штуки, киловатт-часы и т. д.), либо стоимостными, в зависимости от чего различают натуральный и стоимостной межотраслевой баланс.

Числа a_ij, i= 1, 2, ..., n, в некотором смысле характеризуют технологию j-и отрасли в отчетный период и носят название коэффициентов прямых затрат отрасли с номером j.

Матрица А = (a_ij) – матрица прямых затрат несет много информации о структуре межотраслевых связей. Сравнивая такие матрицы, составленные в достаточно разнесенные моменты времени, можно проследить направления изменения и развития технологии.

Будем считать сложившуюся технологию производства линейной (материальные издержки пропорциональны объему выпускаемой продукции) и неизменной в течение некоторого промежутка времени (a_ij – постоянные коэффициенты). Этот промежуток может быть равен одному календарному периоду (скажем, году) или нескольким.

Для осуществления объема x_j ВВ продукции отрасли j необходимо и достаточно произвести затраты в объемах x_ja_ij, i == 1, 2, ..., n продукции всех отраслей. Каждое из допущений является идеализацией реальной ситуации. Обозначим через X вектор ВВ, X = (x₁, x₂, …, x_n). Тогда часть общего ВВ, израсходованная на производственные нужды в процессе производства определяется вектором

(2.2)

В матричных обозначениях вектор производственных затрат равен AХ. Тогда свободный остаток равный Y = X – AX будет использован на непроизводственные цели и накопление. Основной вопрос, возникающий в планировании производства на заданный период, однако, формулируется, как правило, наоборот: при заданном векторе Y КП требуется решить систему:

X – AX = Y, X ≥ 0. (2.3)

Условие неотрицательности вектора X создает определенные трудности при исследовании вопроса о существовании решения системы (2.3). Уравнения (2.3) вместе с изложенной интерпретацией матрицы A и векторов X, Y называется моделью Леонтьева. В том случае когда решение системы (2.3) существует для любого неотрицательного вектора Y конечного спроса, говорят, что модель Леонтьева (и матрица А) продуктивна. Особенность матриц A в модели Леонтьева состоит в том, что все элементы этой матрицы неотрицательны (A ≥ 0). Рассмотрим балансовую модель, двойственную к модели Леонтьева (модель равновесных цен). Обозначим через = (p₁, p₂, …, p_n) – вектор цен, i-я координата которого равна цене единицы продукции i-й отрасли; тогда i-я отрасль получит доход, равный . Часть дохода эта отрасль потратит на закупку продукции у других отраслей. Так, для вы- пуска единицы продукции ей необходима продукция первой отрасли, второй отрасли и т.д. соответственно в объемах На покупку этой продукции ею будет затрачена сумма . Для выпуска x_i единицы продукции затраты составят Оставшуюся часть дохода, называемую добавленной стоимостью, обозначим через V_i (эта часть дохода идет на выплату зарплаты и налогов, предпринимательскую прибыль и инвестиции).

Таким образом, имеет место следующие уравнения:

, i=1,2,…,n. (2.4)

Разделив эти равенства на x_i, получаем

i=1,2,…,n. (2.5)

где v_i – норма добавленной стоимости (добавленная стоимость на единицу выпускаемой продукции). Найденные равенства могут быть записаны в матричной форме следующим образом:

(2.6)

где – вектор норм добавленной стоимости, A^T – матрица транспонированная для A.

Полученная система уравнений является двойственной к системе уравнений модели Леонтьева. Система (2.6) называется прибыльной, если она разрешима в неотрицательных p≥ 0. Продуктивность и прибыльность модели Леонтьева эквивалентны: из продуктивности следует прибыльность и наоборот. Модель равновесных цен позволяет, зная величины норм добавленной стоимости, прогнозировать цены на продукцию отраслей. Она также позволяет прогнозировать изменение цен и инфляцию, являющиеся следствием изменения цены в одной из отраслей.

Матрица полных затрат

Решение системы (2.3) определяется формулой Данная формула имеет важную экономическую интерпретацию. Разложим правую часть формулы в ряд

(2.7)

Для получения вектора X, обеспечивающего конечный спрос Y, необходимо сначала произвести количество продуктов Y. Для получения конечного продукта Y необходимо затратить количество продукции AY, которое нужно сначала произвести. Следовательно, ВВ включает в себя и вектор AY. При производстве вектора AY возникают дополнительные затраты , и т.д. Поэтому ряд (2.7) называется полными затратами на производство конечного спроса Y, а матрица (E – A)^-1 называется матрицей полных затрат.