Предмет теории вероятностей и математической статистики
ОБЩИЕ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ
Необходимость освоения будущими бакалаврами менеджмента теории вероятностей и математической статистики продиктована широким использованием математических методов в современной экономической практике. Полученные математические знания делают возможным изучение прикладных и экономических наук, грамотное общение с компьютером.
Теоретический материал приведен только тот и в том объеме, который необходим для решения предлагаемых в контрольной работе задач. Каждая тема иллюстрирована большим количеством примеров, контрольная работа снабжена образцом ее выполнения.
Контрольная работа должна быть выполнена в срок (по графику учебного процесса до начала экзаменационной сессии) и оформлена в тетради в клетку. Титульный лист оформляется согласно приложению 4.
При выполнении контрольной работы студент должен придерживаться следующих требований:
- перед началом решения задачи необходимо написать полный текст условия задачи;
- решение задачи следует снабжать подробными пояснениями, расчёты по формулам должны быть приведены полностью, без сокращений;
- в задачах по математической статистике для получения правильного результата необходимо проводить промежуточные вычисления с достаточно высокой точностью (до 3 значащих цифр после запятой).
Перед решением заданий контрольной работы рекомендуется ознакомиться со всеми примерами, рассмотренными в данной работе. По каждому заданию контрольной работы в методических указаниях приводится основной теоретический материал и разбирается несколько типовых примеров.
Содержание
1 Предмет теории вероятностей и математической статистики. 4
2 Случайные события. 7
2.1. Испытания и события. 7
2.2. Виды событий. 7
2.3. Классическое определение вероятности. 9
2.4. Основные формулы комбинаторики. 10
2.5. Произведение и сумма событий. 12
2.6. Условная вероятность. вероятность произведения событий. 12
2.7. Вероятность суммы событий. 14
2.8. Формула полной вероятности. 17
2.9. Формула Байеса. 18
2.10. Последовательности испытаний. Формула Бернулли. 19
2.11. Предельные теоремы в схеме Бернулли. 21
3 Случайные величины.. 23
3.1. Понятие случайной величины.. 23
3.2. Закон распределения дискретной случайной величины.. 24
3.3. Функция распределения. 25
3.4. Вероятность попадания случайной величины на заданный интервал. 27
3.5. Плотность распределения. 28
3.6. Числовые характеристики случайной величины.. 30
3.7. Примеры дискретных распределений. 34
3.8. Примеры непрерывных распределений. 35
4 Элементы математической статистики. 40
4.1. Выборочный метод. 41
4.1.1. Генеральная совокупность и выборочная. 41
4.1.2. Вариационный ряд. полигон частот и гистограмма эмпирическая функция распределения 42
4.2. Статистическое оценивание. 46
4.2.1. Оценка параметров генеральной совокупности. точечная оценка и ее свойства 46
4.2.2. Оценка с помощью интервалов. 50
4.3. Проверка статистических гипотез. 52
4.3.1 Проверка гипотез о виде распределения. критерий согласия Пирсона. 55
5 Контрольная работа. часть 1. 59
6 Контрольная работа. часть 2. 85
6.1. Пример выполнения контрольной работы.. 94
приложение 1. 102
приложение 2. 103
приложение 3. 105
приложение 4. 106
ПРЕДМЕТ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ
Теория вероятностей – это математическая дисциплина, изучающая закономерности массовых случайных явлений.
Теория вероятностей не может предсказать результат отдельного опыта со случайными исходами, но она достаточно надежно предсказывает результат большого числа таких опытов.
Основными объектами изучения в теории вероятностей являются случайные события и случайные величины.
Случайное событие – это качественное понятие. Событие либо происходит, либо не происходит. Случайная величина – понятие количественное: в результате опыта случайная величина принимает одно из множества своих возможных значений.
Не все случайные явления (эксперименты) можно изучать методами теории вероятностей, а лишь те, которые могут быть воспроизведены в одних и тех же условиях. Случайность и хаос - не одно и то же. Оказывается, что и в случайных экспериментах наблюдаются некоторые закономерности, например, свойство статистической устойчивости: доля экспериментов, в которых рассматриваемое событие произошло, имеет тенденцию стабилизироваться с ростом общего числа экспериментов, приближаясь к некоторому числу. Это число служит объективной характеристикой степени возможности событию произойти.
Математической статистикой называется раздел прикладной математики, изучающий методы сбора, обработки и анализа статистических данных для научных и практических целей. Математическая статистика занимается изучением закономерностей, которым подчиняются массовые явления, на основе результатов наблюдений.
Предметом исследования в математической статистике является совокупность объектов, однородных относительно некоторых признаков, например, мальчики 12 лет г.Томска; бегуны – мастера спорта России.
Приведем примеры применения теории вероятностей и математической статистики.
Пример 1.1. Из разговора заводских менеджеров: «мастерская дает двадцать три процента брака». Одна единица продукции не может быть дефектна на 23%. Она может быть либо годной, либо дефектной. Видимо, имеется в виду, что в партии большого объема содержится примерно 23% дефектных единиц продукции. Тогда возникает вопрос, а что значит «примерно»? Если из 100 проверенных единиц продукции 30 окажутся дефектными, или из 1000 – 300, или из 100000 – 30000 и т.д., то как оценить это «примерно»?
Пример 1.2. Контроль качества любой продукции. Чтобы решить, соответствует или не соответствует контролируемая партия продукции установленным требованиям, из нее отбирается выборка. По результатам контроля выборки делается заключение о всей партии. В этом случае очень важно избежать субъективизма при формировании выборки, т.е. необходимо, чтобы каждая единица продукции в контролируемой партии имела одинаковую вероятность быть отобранной в выборку. В производственных условиях отбор единиц продукции в выборку обычно осуществляют не с помощью жребия, а по специальным таблицам случайных чисел или с помощью компьютерных датчиков случайных чисел.
Похожие проблемы обеспечения объективности сравнения возникают при сопоставлении различных схем организации производства, оплаты труда, при проведении тендеров и конкурсов, подбора кандидатов на вакантные должности и т.п. Всюду нужна жеребьевка или подобные ей процедуры.
Пример 1.3. При любом измерении единиц продукции (с помощью штангенциркуля, микрометра, амперметра и т.п.) имеются погрешности. Чтобы выяснить, есть ли систематические погрешности, необходимо сделать многократные измерения единицы продукции, характеристики которой известны (например, стандартного образца). При этом следует помнить, что кроме систематической погрешности присутствует и случайная погрешность.
Поэтому встает вопрос, как по результатам измерений узнать, есть ли систематическая погрешность. Если отмечать только, является ли полученная при очередном измерении погрешность положительной или отрицательной, то, сопоставив измерение с бросанием монеты (положительную погрешность – с выпадением герба, отрицательную – решетки (нулевая погрешность при достаточном числе делений шкалы практически никогда не встречается)), сведем задачу проверки отсутствия систематической погрешности к проверке симметричности монеты.
Пример 1.4. При статистическом регулировании технологических процессов на основе методов математической статистики разрабатываются правила и планы статистического контроля процессов, направленные на своевременное обнаружение разладки технологических процессов и принятия мер к их наладке и предотвращению выпуска продукции, не соответствующей установленным требованиям. Эти меры нацелены на сокращение издержек производства и потерь от поставки некачественных единиц продукции. При статистическом приемочном контроле на основе методов математической статистики разрабатываются планы контроля качества путем анализа выборок из партий продукции. Сложность заключается в том, чтобы уметь правильно строить вероятностно-статистические модели принятия решений. В математической статистике для этого разработаны вероятностные модели и методы проверки гипотез, в частности, гипотез о том, что доля дефектных единиц продукции равна определенному числу р0, например, р0 = 0.23 (см. пример 1.1).
СЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ
Испытания и события
Случайным событием (или просто событием) называется любой факт, который может иметь место при наличии определенной совокупности условий.
Каждое осуществление требуемой совокупности условий называется испытанием или опытом.
События, которые могут произойти в результате испытания, называются исходами данного испытания. События принято обозначать заглавными (прописными) буквами начала латинского алфавита: А, В, С и т.д. Словесное описание события часто дается в такой форме:
А = {выпадение "орла" при бросании монеты}.
Виды событий
В теории вероятностей различают виды событий.
Достоверное событие. Так называют событие, которое обязательно происходит в результате испытания.
Невозможное событие – событие, которое не может произойти в данном испытании.
Совместные и несовместные события. Два события называются несовместными, если они не могут произойти вместе в одном испытании, в противном случае их называют совместными. События А1, А2, ..., Аn , называют попарно несовместными, если никакие два из них не могут произойти вместе в одном испытании.
Противоположным событию А называется событие `А, состоящее в непоявлении события А. Очевидно, что события А и `А являются несовместными.
Говорят, что события А1, А2 ,...,Аn в некотором испытании образуют полную группу, если в результате испытания обязательно должно произойти хотя бы одно из них.
Условимся полную группу несовместных исходов называть пространством элементарных событий.
Пример 2.1.Достоверным является событие А = {извлечение белого шара из урны, где все шары белые}.
Невозможным является событие B = {извлечение белого шара из урны, где все шары черные}.
Практически невозможное событие: C1={найти иголку в стоге сена}; C2=={вытащить белый шар из урны, где 1000 шаров черные, а 1 – белый}
Практически достоверное событие: D={вытащить белый шар из урны, где 999 шаров белые, а 1 – черный};
Пример 2.2.Испытание состоит в бросании игральной кости. Рассматриваем события:
А = {выпадение двух очков};
В = {выпадение трех очков};
С = {выпадение четного числа очков}.
События А и В, а также В и С являются несовместными. События А и С – совместные. Попарно несовместными события А, В, С не являются.
Пример 2.3.Производится бросание игральной кости.
А = {выпадение шести очков};
`А = {выпадение любого числа очков, кроме шести}.
Говорят, что события А1, А2 ,...,Аn в некотором испытании образуют полную группу, если в результате испытания обязательно должно произойти хотя бы одно из них.
Пример 2.4.Производится бросание монеты. Полную группу образуют события А = {выпадение "орла"}, В = {выпадение "решки"}.