Аналитическая геометрия

В этом параграфе рассматриваются различные виды уравнений, задающие прямую на плоскости и пространстве, уравнение плоскости, взаимное расположение прямой и плоскости, уравнение кривых второго порядка.

Прямая на плоскости

1.38. Составить уравнение прямой, проходящей через точку А, параллельно: 1) оси ОУ, А(2; –3); 2) оси ОХ, А(1; 2); 3) прямой 2x – 3y + 1 = 0, А(2; –3); 4) прямой x + y – 2 = 0, А(1; 2).

1.39. Составить уравнение прямой, проходящей через точку А, перпендикулярно прямой: 1) 3х – 2у + 5 = 0, А (2; –1); 2) 2х + у – 7 = 0, А(0; 3).

Задача про треугольник

Треугольник задан координатами своих вершин А(–2; 0), В(2; 4), С(4; 0). Найти: 1) уравнение стороны; 2) уравнение медианы, проведенной из вершины А; 3) уравнение высоты, проведенной из вершины А; 4) уравнение прямой, проходящей через А параллельно ВС.

1) Найдем уравнение стороны ВС по формуле уравнения прямой, проходящей через две заданные точки:

(1.1)

В(2; 4), С(4; 0), следовательно,

2у – 8 = –4х + 8,

2у = –4х + 16,

у = –2х + 8.

Рис. 1.3. Треугольник на плоскости

2) Найдем уравнение медианы АЕ из точки А:

Пусть Е – середина отрезка ВС. Координаты середины отрезка найдем по формулам:

Х_сер = , У_сер =

Х_Е = , У_Е = .

Точка Е имеет координаты Е(3; 2). Найдем уравнение прямой (АЕ) по (1.1):

–2х + 6 = – 5у + 10, 5y = 2x+4, у = 0,4 х + 0,8 –уравнение медианы.

3) Найдем уравнение высоты АD.

Т. к. прямая AD перпендикулярна прямой ВС, то из условия перпендикулярности прямых через угловые коэффициенты имеем:

k_АD= = =

Уравнение прямой, проходящей через данную точку с известным угловым коэффициентом, имеет вид:

у – у₀ = k (х – х₀) (1.2)

Используя точку А(–2; 0) и k = 1/2, имеем у – 0 = 0,5(х – (–2)) или

у = 0,5х + 1 –уравнение высоты.

4) Найдем уравнение прямой, проходящей через точку А и параллельной прямой ВС.

Т. к. прямая l // BC, то их угловые коэффициенты равны k_ι = k_ВС.

k_ι = –2. Тогда по уравнению (1.2), зная точку А(–2; 0) и k = –2, найдем

у – 0 = – 2 (х + 2) или у = –2х – 4 –уравнение параллельной прямой.

Все уравнения полученных прямых проверьте по чертежу! Свободный член в уравнении прямой показывает её пересечение с осью ОУ.

1.40. Для треугольников, заданных координатами своих вершин найти 1) уравнение сторон; 2) уравнение медиан; 3) уравнение высот 4) уравнение прямой, проходящей через вершину, параллельно противоположной стороне, 5) угол А треугольника.

1) А(1; 1), В(2; 5), С(6; 2); 2) А(–1;–1), В(2; 5), С(4; –2);

3) А(–3; 1), В(2; 4), С(3; –1); 4) А(1;–2), В(6; 2), С(–1; 6);

5) А(–2; 3), В(4; 5), С(4; –2); 6) А(1;–3), В(3; 4), С(7; –2);

7) А(1; 3), В(8; 5), С(3; –2); 8) А(–4;–2), В(1; 5), С(3; –2);

9) А(–5; –1), В(–4; 6), С(1; 0); 10) А(1; 1), В(2; 2), С(3; –4).

1.41. А – вершина прямоугольника, противоположный угол образован осями координат. Составить уравнения сторон и диагоналей этого прямоугольника, если: 1) А (–4; 3); 2) А (2; 3).

1.42. Составить уравнение прямой, отсекающей на осях координат OX и OY отрезки: 1) а = 2 и b = –5; 2) а = –1 и b = 4.

1.43. Найти уравнение прямой, проходящей через точку А (4; 3) и отсекающей от координатного угла треугольник площадью 3 кв. ед.

1.44. Составить уравнение прямой, проходящей через точку пересечения прямых 5х – у +10 = 0 и 8х + 4у + 9 = 0 параллельно прямой х + 3у = 0.

1.45. Составить уравнение прямой, проходящей через точку пересечения прямых 2х – 3у + 5 = 0 и 3х + у – 7 = 0, перпендикулярно к прямой у = 2х.

1.46. Даны вершины параллелограмма: точки А(3; –5), В(–1, 3). Определить четвертую вершину D, противоположную В.

1.47. Известны уравнения двух смежных сторон параллелограмма
х + у + 5 = 0 и х – 4у = 0. Составить уравнения двух других сторон, если известна точка пересечения его диагоналей Р(2; –2).

1.48. Известны середины сторон треугольника АВС, это точки Р(1; 2),
Q(5;–1) и R(–4; 3). Составить уравнение его сторон.

1.49. Известны одна из вершин А(–2; 1) и уравнения двух сторон прямоугольника 3 х – 4у + 5 = 0и 4х + 3у – 7 = 0. Составить уравнения двух других сторон.