Расчет единовременных тарифных ставок на случай смерти

Методические указания

Фактическая стоимость обязательств страхователя равна по величине единовременной премии по страхованию на случай смерти:

, (24)

где S - страховая сумма на случай смерти, руб.

nАх - единовременная нетто-ставка по страхованию на случай смерти лица в возрасте x лет на срок n лет.

Эта фактическая стоимость равна современной вероятной стоимости обязательств страхователя, поскольку он уплачивает единовременную премию, безусловно, и в момент заключения договора страхования.

Рассмотрим обязательства страховщика.

Страховщик обязуется выплатить страховую сумму S в случае смерти застрахованного в течение срока страхования. Поскольку для каждого года страхования имеется определенная вероятность смерти, а, следовательно, и вероятность выплаты, то общая современная вероятная стоимость выплаты будет равна сумме ее современных вероятных стоимостей за каждый год.

Рассмотрим первый год после заключения договора страхования. Вероятность выплаты в течение первого года страхования равна вероятности смерти лица при переходе от возраста x лет к возрасту (х+1) год, т.е. q_x.

По таблице смертности вероятность смерти при переходе от возраста x лет к возрасту (х+1) год рассчитывается по формуле:

, (25)

где d_x - показатель числа умирающих при переходе от возраста x к возрасту

(х + 1) год,

L_x - показатель таблицы смертности, характеризующий число доживающих до возраста x лет.

Вероятная стоимость выплаты (ее математическое ожидание) для первого года равна произведению страховой суммы S на вероятность выплаты q_x, т.е.:

(26)

Чтобы получить современную вероятную стоимость выплаты на первом году страхования, необходимо вероятную стоимость умножить на дисконтирующий коэффициент. При этом для простоты будем полагать, что все выплаты происходят в конце года, поэтому используют дисконтирующий коэффициент за один год V¹. Таким образом, современная вероятная стоимость выплаты в течение первого года страхования равна:

(27)

Вероятность выплаты в течение второго года равна вероятности того, что застрахованный доживет до второго года страхования, т. е. до возраста (х+1) год и умрет в течение этого года, т. е. при переходе от возраста (х+1) к возрасту (х+2) года. Таким образом, вероятность выплаты в течение второго года равна произведению вероятности ₁P_x дожития лица в возрасте x лет до возраста (x+1) год на вероятность qx+1 смерти при переходе к возрасту (х+2) года. По таблице смертности эта вероятность может быть рассчитана как:

(28)

Таким образом, вероятная стоимость выплаты на втором году страхования, равная произведению страховой суммы S на вероятность выплаты в этом году, составит:

(29)

Используя принятую ранее гипотезу о том, что все выплаты происходят в конце года, можно найти современную вероятную стоимость выплаты для второго года страхования, которая будет равна:

(30)

Аналогичным образом определяется современная вероятная стоимость выплаты для всех последующих лет страхования.

Общая современная стоимость обязательств страховщика, равная сумме вероятных стоимостей выплат за весь срок страхования, составит:

Теперь мы можем применить принцип равновесия и записать равенство современных вероятных стоимостей обязательств страхователя и страховщика:

Отсюда получаем общую формулу для расчета единовременной нетто-ставки по страхованию на случай смерти:

(31)

Используя рассмотренный алгоритм, можно найти формулы для расчета нетто-ставок практически по любому договору страхования жизни. При этом необходимо учитывать, что если договор включает различные виды гарантий, то общая нетто-ставка по такому договору будет равна сумме нетто-ставок по всем видам гарантий. Например, нетто-ставка по договору смешанного страхования жизни, предусматривающего выплату страховой суммы при дожитии застрахованного до конца срока страхования или в случае его смерти в течение этого срока, будет равна сумме нетто-ставки на дожитие nЕx и нетто-ставки на случай смерти nАх:

(32)

где nАх - единовременная нетто-ставка по страхованию на случай смерти в возрасте x лет сроком на n лет;

d_x - число лиц, умирающих в возрасте x лет;

d_x+1 - число лиц, умирающих в возрасте х+1 лет;

- число лиц, умирающих на последнем году страховани;

V, V², Vⁿ - дисконтирующие множители для соответствующих лет страхования;

l_x - число лиц в начале страхования.

Задание 2.3.1 Рассчитайте единовременную нетто-ставку на случай смерти

Исходные данные: Лица в возрасте 40 лет заключают договора сроком на 5 лет на сумму 100 тыс. руб. Норма доходности - 5%.

Решение:

Для расчета единовременных нетто-ставок по страхованию на случай смерти определим число лиц, которые не могут дожить до 45 лет.

Из таблицы смертности находим, что в возрасте 40 лет обычно умирает 722 человека, 41 года – 767; 42 – 817; 43 – 872; 44 – 931.

Подставляя данные по смертности и дисконтирующие множители в формулу:

находим единовременную нетто-ставку по страхованию на случай смерти: 0,03996