Основные виды средних величин и техника их расчёта по различным рядам распределения. Мажорантность средних величин

СРЕДНИЕ ВЕЛИЧИНЫ

5.1.Средняя величина, её сущность и значение. Условия типичности средних величин.

5.2.Основные виды средних величин и техника их расчёта по различным рядам распределения. Мажорантность средних величин.

5.3.Свойства средней арифметической величины и их практическое использование.

5.4. Мода и медиана, способы их вычисления и сфера применения.

Средняя величина, её сущность и значение. Условия типичности средних величин

Средние величины играют исключительно важную роль в статистике. Они являются наиболее часто употребляемыми в экономическом анализе показателями, так как дают общую характеристику изучаемой совокупности: например, средняя заработная плата в промышленности, средняя выработка рабочих на предприятии, средний балл успеваемости студентов университета, средняя урожайность, средний товарооборот за день и т.д.

По сути, средняя величина позволяет заменить множество индивидуальных значений признака, который варьирует у отдельных единиц наблюдения, какой-то одной определённой величиной.

Например, рабочие одной и той же профессии с одним и тем же уровнем квалификации при выполнении однотипной работы могут иметь разные показатели выработки. Например, имеется информация о выработке деталей за смену (шт.) пятью рабочими:

х₁ − 270;

х₂ − 282;

х₃ − 306;

х₄ − 318;

х₅ − 324.

Тогда

Несмотря на то, что ни один рабочий не имел выработки, равной 300 деталям, результаты не искажены, так как

270+282+306+318+324 = 300 * 5

1500 = 1500

То есть общий размер признака по совокупности не изменён!

Вариация выработки (несмотря на целый ряд общих условий: одна операция, одинаковая квалификация, одинаковое оборудование и т.д.) объясняется действием множества случайных факторов: состояние здоровья, настроение, индивидуальные способности (быстро или медленно работает человек) и т.д. Воздействие этих случайных факторов и погашается в средней величине.

В этом выражается действие закона больших чисел: совокупное действие большого числа случайных факторов приводит, при некоторых весьма общих условиях, к результату, почти не зависящему от случая.

Средняя величина – это обобщённая количественная характеристика признака статистической совокупности в конкретных условиях места и времени.

Показатель в форме средней величины отражает типичные черты и даёт обобщающую характеристику однотипных явлений по какому-либо варьирующему признаку.

Для того, чтобы средняя величина была действительно типичной (типизирующей) величиной, необходимо соблюдать ряд требований:

1) при сборе и обработке информации необходимо обеспечить качественную однородность изучаемой совокупности.

Например, сравнивается заработная плата двух бригад, каждая из которых по 10 человек, однако в одной из них 2 ученика. Если учитывать учеников, получим неоднородные совокупности;

2) необходимо обеспечить достаточный объём изучаемой совокупности, иначе не будет проявляться действие закона больших чисел, то есть взаимопогашения случайных факторов не произойдёт;

3) необходимо правильно выбрать вид средней величины.

Этот выбор основывается на экономическом содержании статистических показателей (см. разделы 5.2, 5.4).

Если не соблюдать перечисленные требования, то существует риск получить фиктивную среднюю, которая не будет отражать типичные черты исследуемого явления или процесса.

Основные виды средних величин и техника их расчёта по различным рядам распределения. Мажорантность средних величин

Так как средняя величина является обобщающей характеристикой количественного значения признака, исчисленной на единицу совокупности, исходным соотношением средней является её логическая формула:

Основанием для расчёта средних величин является определяющее свойство средней. Оно заключается в том, что сумма (а при исчислении некоторых видов средних – произведение) индивидуальных значений признака равна сумме (произведению) средних значений признака.

Это было доказано в нашем примере (см. раздел 5.1).

270+282+306+318+324 = 300+300+300+300+300

То есть средняя является уравнительным значением признака для всех единиц совокупности.

На практике исчисление средней во многих случаях возможно через исходное соотношение средней. Но реализация её исходного соотношения будет зависеть от того, в каком виде представлены данные для расчёта средней.

Все средние величины делятся на два больших класса:

- степенные средние;

- структурные средние.

Из степенных средних в экономических исследованиях наибольшее распространение получили:

1) средняя арифметическая;

2) средняя гармоническая;

3) средняя геометрическая;

4) средняя квадратическая;

5) другие виды (например, средняя хронологическая).

К структурным средним относят моду и медиану.

Степенные средние в зависимости от представления исходных данных могут быть:

- простыми;

- взвешенными.

Простая средняя рассчитывается по несгруппированным данным, а взвешенная – по сгруппированным, то есть по дискретным или интервальным рядам, в которых указываются не только значения признака (x), но и частоты (повторяемости) – (f).

1. Наиболее распространённым видом средней величины является средняя арифметическая. Она может быть:

- простая;

- взвешенная.

Простая средняя арифметическая величина исчисляется в тех случаях, когда имеется несколько различных индивидуальных величин одного и того же вида. Тогда все они суммируются, и полученная сумма делится на их число.

Если обозначить эти индивидуальные значения х₁,х₂,х₃,х₄ … , а число индивидуальных значений (единиц наблюдения) – n, то средняя арифметическая простая будет равна:

. (5.1)

Таблица 5.1 – Информация о заработной плате рабочих, представленная в виде простого вариационного ряда

Табельный № рабочего
Заработная плата, тыс. руб.

Таблица 5.2 – Информация о заработной плате рабочих, представленная в виде ранжированного ряда

Заработная плата, тыс. руб., x

Аналогично

Однако в большинстве случаев исследователь имеет большую совокупность единиц, в которой уровни ряда x от случая к случаю повторяются. Тогда исходная информация представляется в виде дискретного ряда:

Таблица 5.3 – Информация о заработной плате рабочих, представленная в виде дискретного ряда

Заработная плата, тыс. руб.	Число рабочих, чел.	x*f
x	f

По сгруппированным данным рассчитывается средняя арифметическая взвешенная. Её формула:

. (5.2)

В нашем примере

Частоты (f) в данном случае называют весами, поэтому средняя арифметическая взвешенная.

Аналогичным образом, по формуле средней арифметической взвешенной, рассчитывается средняя из интервального ряда.

Однако в данном случае

, где − середины или центры интервалов. (5.3)

Например, необходимо рассчитать средний % выполнения норм выработки рабочими цеха.

Таблица 5.4 – Расчет среднего процента выполнения норм выработки

% выполнения норм выработки	Число рабочих, чел.	Центр (середина) интервала
x	f
100-104
104-108
108-112

В случае, если имеются открытые интервалы, для определения центра первого интервала его ширину принимают равной ширине следующего за ним (то есть второго) интервала, а для определения центра последнего интервала приравнивают его ширину к ширине предшествующего (то есть предпоследнего).

2. Средняя гармоническая величина применяется в тех случаях, когда известны индивидуальные значения признака x и произведения x*f, но отсутствуют частоты f.

Например, необходимо определить среднюю заработную плату рабочих по предприятию, если известны:

- уровни средней заработной платы по цехам;

- ФЗП по цехам.

Таблица 5.5 – Расчет средней заработной платы

№ цеха	Средняя заработная плата рабочих цеха, тыс. руб.	ФЗП рабочих, тыс. руб.
x	x*f = W

В данном случае произведение x*f обозначается W (может быть m,z и т.д.), и средняя рассчитывается по формуле

(5.4)

Средняя в такой форме называется средней гармонической взвешенной.

На практике к необходимости исчисления средней гармонической величины могут приводить, например, следующие случаи:

1) по имеющейся информации необходимо определить средний расход материала на одно изделие.

Таблица 5.6 – Порядок расчета среднего расхода материала

Вид продукции	Расход материала на единицу продукции	Общий расход материала на весь выпуск	Число изделий
х	W = x*f
А
Б
В

2) по имеющейся информации необходимо определить среднюю выработку одного рабочего по предприятию

Таблица 5.7 – Порядок расчета средней выработки

№ цеха	Средняя выработка одного рабочего	Общий выпуск продукции цеха	Число рабочих
х	W = x*f

Средняя гармоническая взвешенная определяется по сгруппированным данным.

В тех же случаях, когда произведения x*f одинаковы или равны единице, применяется средняя гармоническая простая.

(5.5)
Выводится из формулы средней гармонической взвешенной: если W = const, то

. (5.6)

Область применения средней гармонической простой очень узкая: применяется в тех случаях, когда показатели связаны как x и . Это могут быть такие показатели, как затраты времени на единицу продукции и выработка продукции в единицу времени.

Например, имеется информация о затратах времени на единицу продукции по пяти рабочим (таблица 5.8):

Таблица 5.8 – Затраты времени на единицу продукции одним рабочим

Порядковый номер рабочего	Затраты времени на единицу продукции
в минутах	в часах
1-ый	5 минут	1/12 часа
2-ой	6 минут	1/10 часа
3-ий	10 минут	1/6 часа
4-ый	6 минут	1/10 часа
5-ый	5 минут	1/12 часа

Необходимо определить средние затраты времени на одну деталь, то есть общие затраты времени разделить на общий объём выпуска продукции, допустим, за 1 час (каждый рабочий отработал по 1 часу). Тогда за один час 1-ый рабочий изготовил деталей, второй − и т.д. Следовательно, средние затраты времени на одну деталь:

3. Средняя геометрическая применяется в тех случаях, когда необходимо исчислить среднюю из относительных показателей: коэффициентов роста в рядах динамики (см. раздел 8.3).

Средняя геометрическая равна корню степени n из произведений коэффициентов роста. Средняя геометрическая простая:

. (5.7)

Если учесть, что и т.д., то число коэффициентов К будет на 1 меньше, чем х.

Располагая данными о начальном (первом) уровне х и последнем х_n, можно рассчитать средний коэффициент роста по более простой формуле:

. (5.8)

Такая средняя геометрическая носит название простой.

(5.9)

В свою очередь, средняя геометрическая взвешенная может быть определена по формуле

. (5.10)

Среднюю геометрическую необходимо исчислять в тех случаях, когда наблюдается большой разброс значений признака.

4. Средняя квадратическая применяется в тех случаях, когда осреднению подлежат величины, выраженные в виде квадратных функций (то есть когда вместо данных об индивидуальных значениях признака имеются данные об их квадратах). Например, средний диаметр труб, средняя сторона квадрата и т.д.

Она также может иметь форму простой средней квадратической:

(5.11)

либо форму взвешенной средней квадратической:

. (5.12)

5. Другие виды средних величин. К ним относятся:

- средняя прогрессивная (рассчитывается при анализе выполнения норм выработки);

- средняя хронологическая (рассчитывается при анализе развития явления во времени и т.д.).

Считается, что общие формулы расчёта степенных средних имеют показатели степени m. В зависимости от того, какое значение принимает m, различают:

среднюю гармоническую:

m = -1

простая взвешенная

,

среднюю геометрическую:

m = 0

простая взвешенная

,

среднюю арифметическую:

m = 1

простая взвешенная

,

среднюю квадратическую:

m = 2

простая взвешенная

,

среднюю кубическую:

m = 3

простая взвешенная

.

Доказано, что если рассчитать все виды средних для одних и тех же значений, то они будут неодинаковы: с увеличением m увеличивается и соответствующая средняя (правило мажорантности средних). Впервые правило мажорантности сформулировал русский статистик профессор А.Я. Боярский.

_{гарм. геом. арифм. квадр. куб.}

В статистике чаще других используют _гарм. и _арифм..