Типы роста и трендовые модели
Одним из самых важных этапов при построении трендовых прогнозных моделей является выбор вида функции, описывающей основную закономерность, лежащую в основе изменения временного ряда. Обычно для решения этой задачи на этапе предварительной обработки данных исследуется механизм функционирования моделируемых процессов и уточняется их экономическая сущность. В процессе этих исследований пытаются выяснить:
1) является ли интересующий нас процесс монотонно возрастающим или убывающим, стабильным или взрывчатым, имеет ли экстремум (экстремумы), наблюдаются ли в его развитии сезонные явления;
2) ограничен ли сверху (снизу) каким-либо пределом, имеет ли асимптоты;
3) должна ли быть у функции, описывающей этот процесс, точка перегиба;
4) должна ли она (функция) обладать свойством симметрии;
5) имеет ли процесс явное ограничение своего развития во времени.
Если удается в результате этих исследований выявить какие-либо свойства моделируемого процесса, то этими свойствами стараются наделить функцию, которая выбирается в качестве тренда (основной закономерности). Такой подход позволяет строить содержательно интерпретируемые модели, обеспечивающие более высокую достоверность прогнозных оценок, чем формально построенные.
Отметим, что строгих предписаний по поводу последовательности действий при построении прогнозных моделей нет. У исследователя есть достаточно свободы при решении многих вопросов, поэтому всегда нужно помнить, что процесс построения модели – это не только наука, но и искусство.
Несмотря на сделанное замечание, в дальнейшем изложении будем придерживаться вполне определенной схемы выбора функции тренда, предусматривающей следующие действия:
1) сглаживание данных временного ряда (необязательно);
2) расчет абсолютных приростов;
3) определения типа роста путем анализа приростов или их производных характеристик;
4) уточнения типа роста с помощью содержательного анализа;
5) выбор из класса функций, описывающих данный тип роста, наилучшей.
Анализ приростов и их производных характеристик позволяет определить характер динамики прогнозируемого процесса (тип роста). Каждый тип роста описывается соответствующими функциями. Опишем эти типы роста.
Постоянный рост. Он характеризуется постоянными или мало изменяющимися абсолютными приростами. Следовательно, если после сглаживания временного ряда окажется, что вычисленные приросты 
примерно одинаковы для всех 
, то есть полное основание строить модель, которая описывает этот тип роста. В качестве такой модели принято использовать линейную функцию
(2.2)
Здесь 
– теоретический (расчетный) уровень базисного года;
– постоянный (ежегодный, ежемесячный) абсолютный прирост, равный первой производной.
(2.3)
Темп прироста
(2.4)
для линейной функции монотонно убывает при 
.
Увеличивающийся рост. Для этого типа роста абсолютные приросты сглаженного ряда либо линейно растут, либо темпы прироста остаются почти неизменными. В первом случае мы имеем дело с параболической зависимостью
(2.5)
у которой 
, а предельная величина абсолютного прироста изменяется линейно
(2.6)
Во втором случае процесс описывается экспонентой
(2.7)
при 
.
Темп предельного прироста определяется выражением
(2.8)
Уменьшающийся рост. В этом случае прирост сглаженного ряда уменьшается по линейному или какому-либо другому закону. В качестве тренда такого процесса может быть выбрана любая из следующих кривых:
Линейная логарифмическая
(2.9)
Для нее величина абсолютного прироста в точке t
(2.10)
при убывает.
Степенная зависимость
(2.11)
при 
.
Абсолютный прирост
(2.12)
убывает при 
.
Может использоваться также парабола (2.5), но с отрицательным коэффициентом 
, так как для нее абсолютный прирост является убывающей функцией .
Часто для моделирования процессов этого типа применяют гиперболу вида
(2.13)
для которой абсолютный прирост – убывающая функция
(2.14)
и для которой существует предел сверху
Встречаются также случаи, когда высокая точность аппроксимации достигается при использовании модифицированной экспоненты
(2.15)
Модифицированная экспонента, как и гипербола, характеризуется быстро убывающим абсолютным приростом и наличием асимптоты
ограничивающий рост сверху.
Рост с качественным изменением динамических характеристик. При моделировании этого типа процесса применяются точки перегиба, т.е. точки, в которых вторая производная равна нулю. В случае если увеличивающийся рост сменяется уменьшающимся ростом, то в качестве модели можно выбрать логарифмическую параболу
(2.16)
с 
или многочлен третьей степени
(2.17)
с 
.
К этому классу функций относятся также кривая Гомперца и кривая Перла – Рида (логистическая кривая). Уравнение кривой Гомперца имеет вид
. (2.18)
Логистическая кривая задается уравнением
(2.19)
Параметры всех кривых, кроме двух последних, оцениваются с помощью метода наименьших квадратов, который будет рассмотрен ниже.
После определения типа роста рекомендуется для его уточнения провести содержательный анализ, смысл которого можно проиллюстрировать следующим примером.
Пусть анализ приростов на ретроспективном участке показал, что ряд динамики должен быть отнесен к процессам, которые характеризуются увеличивающимся ростом. Такой процесс, как было показано выше, хорошо описывается с помощью экспоненциальной кривой. Однако первая половина логистической кривой также представлена экспонентой. Поэтому остановить свой выбор на увеличивающемся росте можно только в том случае, когда удастся обосновать гипотезу об экспоненциальной тенденции ряда в будущем. Гипотеза об экспоненциальной тенденции принимается в том случае, когда в результате содержательного анализа устанавливается, что исследуемый процесс в будущем не достигает состояния «насыщения».
Этап определения типа роста позволяет только ограничить число функций, приемлемых для описания данного временного ряда, сокращая число возможных вариантов, но, кроме линейного случая, не дает однозначного ответа. Окончательный выбор функции тренда осуществляется следующим образом. С помощью метода наименьших квадратов, который рассматривается ниже, строятся все функции из того ограниченного набора, который определен для установленного типа роста. Из построенных функций в качестве тренда выбирается та, которая дает наименьшую среднюю квадратическую ошибку
, (2.20)
где 
– фактические значения временного ряда;
– расчетные значения временного ряда;
– длина временного ряда.
В предположении, что в перспективном периоде тенденции ретроспективного периода сохраняются, с помощью определенной таким образом функции рассчитываются прогнозные значения. Расчет осуществляется путем подстановки в уравнение кривой значений времени , соответствующих периоду упреждения.