Проверка гипотезы о нормальности исходного распределения

Нулевая гипотеза отвергается в тех случаях, когда по выборке получается результат, который при истинности выдвинутой гипотезы маловероятен.

Границей маловероятного или невозможного обычно считается

а= 0.05; а=0.01.

Критерий согласия Пирсона

Критерий согласия Пирсона (χ²) применяют для проверки гипотезы о соответствии эмпирического распределения предполагаемому теоретическому распределению F(x) при большом объеме выборки (n ≥ 100). Критерий применим для любых видов функции F(x), даже при неизвестных значениях их параметров, что обычно имеет место при анализе результатов механических испытаний. В этом заключается его универсальность.

Использование критерия χ² предусматривает разбиение размаха варьирования выборки на интервалы и определения числа наблюдений (частоты) n_j для каждого из e интервалов. Для удобства оценок параметров распределения интервалы выбирают одинаковой длины, так чтобы формировалось 10-20 групп.

Число интервалов зависит от объема выборки. Обычно принимают: при n = 100 e = 10 ÷ 15, при n = 200 e = 15 ÷ 20 и т.д.

Статистикой критерия Пирсона служит величина

(*),

где p_j - вероятность попадания изучаемой случайной величины в j-и интервал, вычисляемая в соответствии с гипотетическим законом распределением F(x).

При вычислении вероятности p_j нужно иметь в виду, что левая граница первого интервала и правая последнего должны совпадать с границами области возможных значений случайной величины. Например, при нормальном распределении первый интервал простирается до -∞, а последний - до +∞.

Нулевую гипотезу о соответствии выборочного распределения теоретическому закону F(x) проверяют путем сравнения вычисленной по формуле (*) величины с критическим значением χ²_α, найденным по табл. VI приложения для уровня значимости α и числа степеней свободы k = e₁ - m - 1. Здесь e₁ - число интервалов после объединения; m - число параметров, оцениваемых по рассматриваемой выборке. Если выполняется неравенство

χ² ≤ χ²_α (**)

то нулевую гипотезу не отвергают. При несоблюдении указанного неравенства принимают альтернативную гипотезу о принадлежности выборки неизвестному распределению.

Недостатком критерия согласия Пирсона является потеря части первоначальной информации, связанная с необходимостью группировки результатов наблюдений в интервалы и объединения отдельных интервалов с малым числом наблюдений.

Плотность χ2-распределения при различных степенях свободы n

Проверка гипотезы о нормальности исходного распределения

. Распределение значений содержания углерода в катанке из стали марки Ст3пс

Рассмотрим гипотезу о том, что рассматриваемое нами распределение подчиняется нормальному закону со средним значением X_ср = 0.18 % и среднеквадратичным отклонением S = 0.0186 %. Проверим эту гипотезу с применением критерия согласия Пирсона (χ² - критерия). Здесь и далее в этом проекте (если не оговорено специально) будем принимать уровень значимости α = 0.05.

Уровень значимости – это вероятность того, что мы сочли различия существенными, в то время как она на самом деле случайны.

Составляем расчетную таблицу. Эта таблица будет несколько отличаться от приведенной в [1] за счет того, что в настоящее время существуют более удобные средства расчета, появившиеся после написания книги. В первый и второй столбцы расчетной таблицы вносим данные из гистограммы - содержание углерода x_i и количество наблюдений n_i, соответствующее такому содержанию.

Содержание углерода, % xi	Количество наблюдений ni	Границы интервалов xi	Интегральная функция распределения на границах интервалов F(x)	Вероятность попадания в интервал, p(i)	n*·pi	ni-n*·pi	(ni-n*·pi)2/n*·pi
xi_min	xi_max	F(x<xi_min)	F(x<xi_max)
См. примечание 1
0.14
0.15
0.16
0.17
0.18
0.19
0.20
0.21
0.22
См. примечание 1

Примечание 1: Применяемый нами метод построения гистограмм включает в себя "отбрасывание" крайних значений, частота которых не превышает 2 %. С связи с этим диапазоны [-∞ ÷ 0.135] и [22.5 ÷ ∞] не рассматриваются. Еще одно последствие применения такого метода выразится в определении предполагаемого общего количества испытаний (см. далее).

Теперь определим границы рассматриваемых интервалов. Фактически критерий согласия Пирсона изначально предполагает разбиение исследуемой случайной величины на определенные интервалы. В данной задаче мы такого разбиения не специально производили. Это было сделано уже в момент определения химического состава. Содержание углерода в стали не является дискретной величиной. Фактически оно (содержание) величина непрерывная. И может быть как 0.18359125, так и 0.180001. Приведенные на гистограмме (рис. 1) и в расчетной таблице значения x_i представляют собой округление до второго знака после запятой. При x_i = 0.18 %, например, фактическое значение содержания углерода может быть в пределах 0.175 ÷ 0.185 %. Исходя из этих соображений и определим фактические границы интервалов x_{i_min} ÷ x_imax и занесем эти границы в 3-й и 4-й столбцы расчетной таблицы:

Содержание углерода, % xi	Количество наблюдений ni	Границы интервалов xi	Интегральная функция распределения на границах интервалов F(x)	Вероятность попадания в интервал, p(i)	n*·pi	ni-n*·pi	(ni-n*·pi)2/n*·pi
xi_min	xi_max	F(x<xi_min)	F(x<xi_max)
0.14		0.135	0.145
0.15		0.145	0.155
0.16		0.155	0.165
0.17		0.165	0.175
0.18		0.175	0.185
0.19		0.185	0.195
0.20		0.195	0.205
0.21		0.205	0.215
0.22		0.215	0.225

Следующий этап расчетов заключается в определении вероятности попадания нормальной случайной величины x с предполагаемыми средним значением X_ср = 0.18 % и среднеквадратичным отклонением S = 0.0186 % в заданные интервалы. В [1] для этого используется функция Лапласа для нормализованной случайной величины. Однако, пользуясь современными математическими пакетами, этого можно не делать. Так, в Excel существует функция НОРМРАСП(x; x_ср; σ; Интегральная), а в MatLab - normcdf(x, x_ср, σ).

Функция НОРМРАСП(x; x_ср; σ; 1) возвращает вероятность того, что нормально распределенная случайная величина при среднем x_ср и среднеквадратичном σ окажется не больше значения x. Например, для нашего рассматриваемого случая вероятность того, что содержание в стали углерода окажется не больше 0.155 % равна F(0.155) = P(X < 0.155) = НОРМРАСП(0.155; 0.18; 0.0186; 1) = 0.089. Аналогично для содержания углерода 0.165 % имеем F(0.165) = P(X < 0.165) = НОРМРАСП(0.165; 0.18; 0.0186; 1) = 0.210. А вероятность того, что содержание углерода в стали окажется в пределах 0.16±0.005 равна F(0.165) - F(0.155) = 0.121.

Пользуясь описанной выше функцией НОРМРАСП(x; 0.18; 0.0186; 1) заполним 5 - 7 столбцы расчетной таблицы:
F(x<x_{i_min}) = НОРМРАСП(x_{i_min}; 0.18; 0.0186; 1) - вероятность того, что случайная величина окажется меньше нижней границы заданного интервала,
F(x<x_{i_max}) = НОРМРАСП(x_{i_max}; 0.18; 0.0186; 1) - вероятность того, что случайная величина окажется меньше верхней границы заданного интервала,
p_i = F(x<x_{i_max}) -F(x<x_{i_min}) - вероятность попадания случайной величины в заданный интервал.

Содержание углерода, % xi	Количество наблюдений ni	Границы интервалов xi	Интегральная функция распределения на границах интервалов F(x)	Вероятность попадания в интервал, pi	n*·pi	ni-n*·pi	(ni-n*·pi)2/n*·pi
xi_min	xi_max	F(x<xi_min)	F(x<xi_max)
0.14		0.135	0.145	0.008	0.030	0.022
0.15		0.145	0.155	0.030	0.089	0.060
0.16		0.155	0.165	0.089	0.210	0.121
0.17		0.165	0.175	0.210	0.394	0.184
0.18		0.175	0.185	0.394	0.606	0.212
0.19		0.185	0.195	0.606	0.790	0.184
0.20		0.195	0.205	0.790	0.911	0.121
0.21		0.205	0.215	0.911	0.970	0.060
0.22		0.215	0.225	0.970	0.992	0.022

По второму столбцу подсчитаем общую сумму анализируемых наблюдений n = ∑n_i = 290, а по седьмому столбцу - общую сумму наблюдаемых вероятностей ∑p_i = 0.984. При неукоснительном использовании критерия согласия Пирсона общая сумма наблюдаемых вероятностей должна быть равна 1. В нашем случае этого не происходит. Это обусловлено применяемым нами методом построения гистограмм (см. Примечание 1 выше). В связи с этим введем еще одну величину - предполагаемое общее количество испытаний n^*. Эту величину предлагаем определять по формуле
.

Определим и внесем в расчетную таблицу предполагаемое общее количество испытаний n^* = 290/0.984 = 295.

Содержание углерода, % xi	Количество наблюдений ni	Границы интервалов xi	Интегральная функция распределения на границах интервалов F(x)	Вероятность попадания в интервал, pi	n*·pi	ni-n*·pi	(ni-n*·pi)2/n*·pi
xi_min	xi_max	F(x<xi_min)	F(x<xi_max)
0.14		0.135	0.145	0.008	0.030	0.022
0.15		0.145	0.155	0.030	0.089	0.060
0.16		0.155	0.165	0.089	0.210	0.121
0.17		0.165	0.175	0.210	0.394	0.184
0.18		0.175	0.185	0.394	0.606	0.212
0.19		0.185	0.195	0.606	0.790	0.184
0.20		0.195	0.205	0.790	0.911	0.121
0.21		0.205	0.215	0.911	0.970	0.060
0.22		0.215	0.225	0.970	0.992	0.022
	n = 290					∑pi = 0.984
	n* = 295

Определим наблюдаемую χ² - статистику. Для этого в восьмой столбец расчетной таблицы внесем значения n^*·p_i (произведение n^* на значения седьмого столбца), в девятый - n_i-n^*·p_i (разность значений второго и седьмого столбцов), в десятый - (n_i-n^*·p_i)²/n^*·p_i (квадрат значения в девятом столбце делим на значение восьмого). Сумма значений в десятом столбце и будет равна значению наблюдаемой χ² - статистики.

Содержание углерода, % xi	Количество наблюдений ni	Границы интервалов xi	Интегральная функция распределения на границах интервалов F(x)	Вероятность попадания в интервал, p(i)	n*·pi	ni-n*·pi	(ni-n*·pi)2/n*·pi
xi_min	xi_max	F(x<xi_min)	F(x<xi_max)
0.14		0.135	0.145	0.008	0.030	0.022	6.5	1.5	0.332
0.15		0.145	0.155	0.030	0.089	0.060	17.5	0.5	0.012
0.16		0.155	0.165	0.089	0.210	0.121	35.5	-1.5	0.064
0.17		0.165	0.175	0.210	0.394	0.184	54.2	-11.2	2.320
0.18		0.175	0.185	0.394	0.606	0.212	62.4	6.6	0.691
0.19		0.185	0.195	0.606	0.790	0.184	54.2	-3.2	0.191
0.20		0.195	0.205	0.790	0.911	0.121	35.5	0.5	0.007
0.21		0.205	0.215	0.911	0.970	0.060	17.5	5.5	1.704
0.22		0.215	0.225	0.970	0.992	0.022	6.5	1.5	0.332
	n = 290					∑p_i = 0.984			χ2 = 5.652
	n* = 295								χ2крит. = 12.6

Наблюдаемое значение χ² - статистики в нашем случае равно 5.652.

Рассмотренный нами расчет приведен в таблице MS Excel krit_sogl.xls.

Теперь наблюдаемое значение χ² - статистики необходимо сравнить в критическим значением. Уровень значимости, как договорились выше, принимаем равным α = 0.05. Количество степеней свободы равно количеству наблюдаемых интервалов 9 уменьшенному на количество определенных параметров (2, так как мы ранее определили для выборки среднее и среднеквадратичное отклонение) и на 1:
k = 9 - 2 - 1 = 6.

Для уровня значимости α = 0.05 и числа степеней свободы k = 6 определяем критическое значение χ² - статистики. Вместо таблицы, как это предлагается в [1] можно использовать функции Ecxel ХИ2ОБР(α; k) или MatLab chi2inv(1-α, k). Функция Ecxel ХИ2ОБР(0,05; 6) даст нам критическое значение χ² - статистики для уровня значимости α = 0.05 и числа степеней свободы k = 6. χ²_{крит. 0.05, 6} = 12.6. Условие χ²_набл. ≤ χ²_крит. (5.7 < 12.6) выполняется, следовательно гипотезу о нормальности закона распределения для исследуемой выборки отвергать нет основания.

Литература:
1. Степнов М.Н. Статистические методы обработки результатов механических испытаний: Справочник. - М.: Машиностроение, 1985. - 232 с.