Задачи для домашнего решения

1. В партии из 100 ампул 10 оказались с трещинами. Определить вероятность попадения ампулы с трещиной.

2. При обследовании 65 студентов у 17 был выявлен сколеоз и у 9 остаточные явления после пневмонии. Определить вероятность того и другого заболевания.

3. У больного желудочное кровотечение. Этот симптом может наблюдаться при язвенной эрозии сосуда (событие А), разрыве варикозно расширенных вен пищевода (В), раке желудка (С), полипе желудка (Д), механической желтухе (Е), гастрите (F), геморрагическом диатезе (G). За время практики у врача было 80 случаев с аналогичными симптомами, причём во всех случаях был поставлен правильный диагноз. Число случаев каждой болезни составило соответственно: 12, 6, 36, 9, 7, 9 и 1. Найти вероятности появления этих заболеваний.

4. При розыгрыше спортлото в барабане находятся 35 пронумерованных шаров. Определить вероятность событий:

а) появление шара с цифрой 5 при первом метании – событие А,

б) появление шара с цифрой 5 при втором метании (шар обратно не возвращается) - событие В,

в) появление шаров с цифрами 5 и числами 10 и числами 15 при первом метании - событие С,

г) появление шара с чётным числом при первом метании–событие Д.

5. В партии из 12 приборов 3 бракованных. Найти вероятность того, что:

а) первый наугад взятый прибор – бракованный (событие А),

б) второй прибор – исправный (событие В).

6. Медицинская сестра обслуживает 4 больничные палаты. Вероятность, что в течение часа её помощь потребуется в первой палате Р(А₁) равна 0,11; в третьей - Р(А₃)=0,40; в четвертой – Р(А₄)=0,08. Найти вероятность, что её помощь в течение часа потребуется больным второй палаты.

7. Вероятность рождения мальчика в семье равна 0,4. В семье 4 детей. Определить вероятность, что в семье все дети – девочки.

8. На складе клиники имеется 20 электрокардиографов. У 5 из них имеются неисправности. Какова вероятность того, что из трех наугад взятых приборов хотя бы один окажется неисправным.

Задачи для решения на практическом занятии:

1. В отделении 4 палаты. Вероятность того, что в течении ночи в первую палату потребуется кислородная подушка – 0,2; во вторую – 0,3; в третью – 0,4; в четвертую – 0,1. Какова вероятность того, что в течение ночи кислородная подушка потребуется: 1) в первую и во вторую палаты; 2) во все четыре палаты.

2. Согласно статистическим данным, европейцы имеют группу крови А – 36,9 % всего населения; группу В – 23,5 %; группу АВ – 0,6 %; группу О – 39 %. Найти вероятность того, что у произвольно взятого донора группа крови А или В.

3. Во время гололеда в травмпункт было доставлено 23 пострадавших, причем у четырех была повышенная температура. В палаты их размещали по 3 человека. Найти вероятность, что в одну палату все пострадавшие попадут с повышенной температурой.

4. При аварии пострадали 15 человек, 7 из них получили ожоги. Скорая помощь увозила по 2 пострадавших. Найти вероятность того, что в машине окажутся:

а) оба пострадавших с ожогами,

б) оба пострадавших без ожога,

в) один с ожогом, другой без ожога.

5. Студент пришёл на экзамен, зная ответы на 90 из 150 экзаменационных вопросов. В билете три вопроса. Какова вероятность, что студент ответит на все три вопроса билета?

6. Студент из 120 экзаменационных вопросов знал ответы на 75. В билете три вопроса. Какова вероятность, что студент не ответит на один из вопросов билета?

7. Студент пришёл на экзамены, зная 20 вопросов из 24. В билете 3 вопроса. Найти вероятность того, что ему попадётся в билете хотя бы один вопрос, который он не знает.

8. На обследование прибыла группа из 25 человек, среди которых 7 инфицированных больных. Одновременно в кабинет проходило по 3 человека. Какова вероятность,что в группе из 3 человек, хотя бы один окажется инфицированным?

ТЕМА №8

СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ. ЗАКОН НОРМАЛЬНОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН

Многие случайные события могут быть оценены количественно случайными величинами. Случайной величиной называется величина, которая в результате испытания может принять то или иное значение, причем неизвестно заранее, какое именно. Полными, исчерпывающими характеристиками случайных величин являются так называемые законы распределения. Законом распределения случайной величины называется всякое соотношение, устанавливающее связь между возможными значениями случайной величины и соответствующими им вероятностями.

Цель занятия:

1. Изучить законы распределения и методы вычисления числовых характеристик случайных величин.

2. Изучить нормальный закон распределения случайных величин и метод вычисления вероятности при нормальном распределении.

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

1. СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ

Величина, принимающая те или иные числовые значения в зависимости от различных случайных обстоятельств, называется случайной величиной. Случайными величинами являются: число больных на приеме у врача, число студентов в аудитории, число рождений в городе, продолжительность жизни отдельного человека, температура воздуха и др.

Различают дискретные и непрерывные случайные величины. Случайная величина, принимающая отдельные, изолированные числовые значения, называется дискретнойили прерывной (например, число студентов на лекции, число случаев заболеваний, число родившихся за один день мальчиков и др.).

Случайная величина, принимающая любые значения в определенном интервале, называется непрерывной(например, температура тела больного, продолжительность жизни человека, температура воздуха в течение дня и т.д.).

1. ЗАКОН РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ДИСКРЕТНЫХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН

Случайные величины обозначают прописными буквами латинского алфавита: X, Y, Z,…, а их возможные значения – соответствующими строчными буквами x, y, z... .

Рассмотрим дискретную случайную величину X с возможными значениями x₁, x₂,…, x_n. Величина Xможет принять каждое из них с некоторой вероятностью. В результате испытания величина X примет одно из этих значений, т.е. произойдет одно из полной группы несовместных событий. Обозначим вероятности этих событий буквами P с соответствующими индексами: P(X=x₁)=P₁, P(X=x₂)=P₂,…,P(X=x_n)=P_n.

Так как все возможные значения дискретной случайной величины представляют полную группу, то сумма вероятностей равна единице:

P₁+P₂+…+P_n= - условие нормировки.

Дискретная случайная величина X считается заданной, если перечислены все ее возможные значения и вероятности, с которыми она может принимать эти значения.

Законом распределения дискретной случайной величины называется соответствие между ее возможными значениями и их вероятностями.

Закон распределения дискретной случайной величины может быть представлен в виде таблицы, в которой перечислены возможные значения случайной величины и соответствующие им вероятности:

Значения случайной величины, xi	x1	x2	…	xn
Вероятности, Pi	P1	P2	…	Pn

Такую таблицу называют рядом распределения случайной величины X.

Ряд распределения можно представить графически: по оси абсцисс откладываются возможные значения случайной величины, а по оси ординат – вероятности этих значений, и для наглядности полученные точки соединяются отрезками прямых (рис. 1). Такая фигура называется многоугольником распределения. Многоугольник распределения полностью характеризует случайную величину и является одной из форм закона распределения.

Рис 1. Многоугольник распределения.