Случайные события и их вероятности

В этой главе приводится краткий обзор основных понятий и результатов теории вероятностей, которые используются в курсе эконометрики.

Теория вероятностей исследует закономерности случайных явлений, изучает случайные величины, оценивает вероятности случайных событий.

Одно из основных понятий теории вероятностей – случайное событие. Под событием понимается любое явление, которое происходит в результате осуществления определенного комплекса условий. В теории вероятностей любое событие рассматривается как результат некоторого эксперимента, т.е. осуществления определенного комплекса условий (синонимами термина эксперимент являются опыт, испытание, наблюдение). В связи с этим часто вместо термина событие используется термин исход. Эксперимент, результат которого не предсказуем заранее в силу различных причин, называется случайным (вероятностным). В частности, любое действие в экономике по своей сути является случайным экспериментом.

Событие, которое может произойти или не произойти в условиях данного эксперимента, называется случайным. Если событие обязательно произойдет в условиях эксперимента, то оно называется достоверным. Событие, называется невозможным, если в условиях данного эксперимента оно никогда не произойдет.

Например, создание какой-либо фирмы в контексте получения прибыли является случайным экспериментом, поскольку результатом такого эксперимента может быть только случайное событие, т.е. прибыль может быть, а может и не быть. То, что спрос на бытовую технику упадет при резком снижении доходов населения, в экономике рассматривается как достоверное событие. То, что увеличение спроса на автомобили приведет к снижению их цены, рассматривается как невозможное событие.

В теории вероятностей события обычно обозначаются большими латинскими буквами, например A, B, C. Достоверное событие обозначается буквой W, а невозможное событие – символом Æ.

Следует отметить, что в теории вероятностей рассматриваются только такие эксперименты, которые можно повторить (воспроизвести) при неизменном комплексе условий произвольное число раз (по крайней мере, теоретически). В связи с этим, в теории вероятностей имеют дело с повторением испытаний двух типов: 1) повторение испытаний для одного и того же объекта; 2) испытание многих сходных объектов. Например, можно исследовать продукцию, выпущенную каким-либо одним станком за определенный период времени, а можно исследовать продукцию, выпущенную несколькими одинаковыми станками, но в фиксированный момент времени. С точки зрения теории вероятностей такие серии экспериментов эквивалентны.

Чтобы охарактеризовать вероятность события числом, нужно установить единицу измерения вероятности. Здесь поступают следующим образом: достоверному событию приписывают вероятность, равную единице; невозможному – равную нулю. Таким образом, вероятность P(A) события А должна удовлетворять следующим условиям:

1^о. P(A)=1, если А – достоверное событие;

2^о. P(A)=0, если А – невозможное событие;

3^о. 0<P(A)<1, если А – случайное событие.

При различных подходах к вероятности, величина P(A) может трактоваться по-разному. В экономических исследованиях часто используются статистическое определение вероятности, т.е. под вероятностью события A понимается величина

, (2.1)

где под n понимается количество наблюдений результатов эксперимента, в которых событие A встречалось ровно m раз (конечно, число наблюдений n должно быть достаточно большим).

Пример 2.1. Аналитик по инвестициям собирает данные об акциях и отмечает, выплачивались ли по ним дивиденды и увеличивались или нет акции в цене за интересующий его период времени. Собранные данные были представлены в виде таблицы:

Выплата дивидендов	Цена увеличилась	Цена не увеличилась	Итого
Производились
Не производились
Итого

Если акция выбрана случайно из набора в 246 акций, то чему равна вероятность того, что: а) она из числа тех акций, которые увеличились в цене; б) по ней выплачены дивиденды; в) по ней не выплачены дивиденды, и она не выросла в цене.

Решение. Используя статистическое определение вероятности, легко получаем:

а) ;

б) ;

г) . â

В задачах, использующих вероятностные количественные характеристики, приходится по вероятностям одних событий оценивать вероятности других событий. Для этого используются различные соотношения, в основе которых лежат теоремы сложения и умножения вероятностей.

События называются несовместными, если они не могут наблюдаться одновременно в одном и том же эксперименте.

Суммой событий A и B называется событие A+B, состоящее в появлении хотя бы одного из этих событий.

Вероятность суммы несовместных событий A и B равна сумме вероятностей этих событий:

. (2.2)

Пример 2.2. В ходе исследования потребительского рынка проводили опрос потребителей. В частности, один из вопросов касался сорта зубной пасты, которую использует потребитель. Если известно, что 14% населения использует сорт A, а 9% – сорт B, то чему равна вероятность того, что случайно выбранный человек будет использовать одну из двух паст. (Предполагается, что в данный момент человек использует только одну пасту).

Решение. Пусть A – событие, состоящее в том, что выбранный человек использует пасту сорта A, а B – событие, состоящее в том, что выбранный человек использует пасту сорта B. Поскольку события A и B несовместные по условию задачи, то, используя теорему сложения вероятностей (2.2), получим

. â

Если появление одного из событий не меняет вероятности появления другого события, то такие события называются независимыми.

Произведением событий A и B называется событие , состоящее в появлении одновременно обоих этих событий.

Вероятность произведения независимых событий A и B равна произведению вероятностей этих событий:

. (2.3)

Пример 2.3. Алмазы, возможно, вскоре станут использовать в качестве полупроводников в спутниках связи. Теория предсказывает, алмазные микросхемы будут более быстродействующими, термо- радиационностойкими, что особенно важно для приборов, работающих в космосе. По оценкам экспертов, вероятности этих трех событий равны 0,9; 0,9 и 0,95 соответственно. Предполагается, что обсуждением проекта по разработке алмазных микросхем стоит вести лишь в том случае, если имеется хотя бы 70% уверенности в том, что они будут обладать всеми тремя указанными свойствами. Должен ли обсуждаться проект?

Решение. Пусть A – событие, состоящее в том, что алмазные микросхемы будут более быстродействующими, B – событие, состоящее в том, что алмазные микросхемы будут более термостойкими, C – событие, состоящее в том, что алмазные микросхемы будут более радиационностойкими. Поскольку события A, B и С независимы, то, используя теорему умножения вероятностей (2.3), получим

.

Таким образом, поскольку 0,7695>0,7, то предложенный проект следует обсуждать. â

В ряде случаев вероятности появления одних событий зависят от того, произошло другое событие или нет. Такие события называются зависимыми.

Вероятность события A, вычисленная при условии, что имело место другое событие B, называется условной вероятностью события A и обозначается или .

Вероятность произведения двух событий A и B равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную при условии, что первое событие уже имело место:

. (2.4)

Пример 2.4. Одна из наиболее сложных проблем рыночных исследований – отказ потребителей отвечать на вопросы о потребительских предпочтениях, либо, если опрос проводится по месту жительства, – отсутствие их дома на момент опроса. Предположим, что исследователь рынка с вероятностью в 0,94 верит, респондент согласится отвечать на вопросы анкеты, если окажется дома. Он также полагает, что вероятность того, что этот человек будет дома, равна 0,65. Имея такие данные, оцените процент заполненных анкет.

Решение. Пусть A – событие того, что респондент окажется дома. Вероятность этого события . Пусть B – событие того, что респондент согласится отвечать на вопросы. По условию задачи задана условная вероятность , т.е. вероятность того, что он согласится отвечать на вопросы, если он будет дома. Тогда, согласно теореме умножения вероятностей зависимых событий (2.4), вероятность того, что человек будет дома и согласится отвечать на вопросы, будет равна

,

т.е. процент заполненных анкет будет равен 61%. â

Вероятность суммы совместных событий A и B равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления:

. (2.5)

Пример 2.5. Вероятность того, что покупатель, собирающийся приобрести компьютер и пакет прикладных программ, приобретет только компьютер, равна 0,15. Вероятность того, что покупатель купит только пакет программ, равна 0,1. Вероятность того, что будут куплены и компьютер и пакет программ, равна 0,05. Чему равна вероятность того, что будут куплены или компьютер, или пакет программ, или компьютер и пакет программ вместе?

Решение. Пусть A – событие того, что покупатель приобретет компьютер, B – событие того, что покупатель приобретет пакет программ, тогда AB – событие того, что покупатель приобретет и компьютер, и пакет программ. Следовательно, вероятность того, что будут куплены или компьютер, или пакет программ, или компьютер и пакет программ вместе, будет равна

. â

Два несовместных события A и называются противоположными, если при эксперименте одно из них обязательно произойдет. Иначе, для противоположных событий справедливы равенства:

, .

Вероятности противоположных событий связаны соотношением

(2.6)

Вероятность появления хотя бы одного из событий A₁, A₂,…, A_n равна разности между единицей и вероятности совместного появления противоположных событий:

. (2.7)

Если события A₁, A₂,…, A_n независимы и их вероятности одинаковы, т.е. и , то

. (2.8)

Пример 2.6. Уличный торговец предлагает прохожим иллюстрированную книгу. Из предыдущего опыта ему известно, что в среднем один из 65 прохожих, которым он предлагает книгу, покупают ее. В течение некоторого промежутка времени он предложил книгу 20 прохожим. Чему равна вероятность того, что он продаст им хотя бы одну книгу?

Решение. Пусть A_i – событие того, что i-й прохожий купит книгу. Вероятность этого события , а противоположного события . Тогда вероятность того, что хотя бы один из 20 прохожих купят книгу, будет равна

. â

Если событие B может произойти только с одним из несовместных событий A₁, A₂,…, A_n, образующих полную группу, т.е. , то вероятность события B может быть найдена по формуле полной вероятности:

. (2.9)

Пример 2.7. Вероятность того, что новый товар будет пользоваться спросом на рынке, если конкурент не выпустит в продажу аналогичный продукт, равна 0,67. Вероятность того, что товар будет пользоваться спросом при наличии на рынке конкурирующего товара, равна 0,42. Вероятность того, что конкурирующая фирма выпустит аналогичный товар на рынок в течение интересующего нас периода, равна 0,35. Чему равна вероятность того, товар будет иметь успех?

Решение. Пусть A₁ – событие того, что конкурент выпустит в продажу аналогичный продукт, A₂ – событие того, что конкурент не выпустит в продажу аналогичный продукт. Поскольку эти события несовместные и образуют полную группу, то и . По условию задачи и . В результате по формуле полной вероятности (2.9) находим

. â