Краткие теоретические сведения. Тема 1. Случайные события и их вероятности

Тема 1. Случайные события и их вероятности.

1.1 Классическое и геометрическое определения вероятности.

При классическом определении вероятность Краткие теоретические сведения. Тема 1. Случайные события и их вероятности - student2.ru случайного события Краткие теоретические сведения. Тема 1. Случайные события и их вероятности - student2.ru определяется равенством Краткие теоретические сведения. Тема 1. Случайные события и их вероятности - student2.ru , где Краткие теоретические сведения. Тема 1. Случайные события и их вероятности - student2.ru - число элементарных исходов эксперимента (опыта, испытания), благоприятствующих появлению события Краткие теоретические сведения. Тема 1. Случайные события и их вероятности - student2.ru ; Краткие теоретические сведения. Тема 1. Случайные события и их вероятности - student2.ru - общее число равновозможных элементарных исходов эксперимента. Каждый из исходов (далее неделимых и взаимно исключающих друг друга) эксперимента называется его элементарным исходом (элементарным событием) и обозначается Краткие теоретические сведения. Тема 1. Случайные события и их вероятности - student2.ru . Элементарные исходы называются равновозможными, если в силу условий проведения эксперимента можно считать, что ни один из них не является объективно более возможным, чем другие. Множество всех элементарных исходов эксперимента называется пространством элементарных исходов и обозначается Краткие теоретические сведения. Тема 1. Случайные события и их вероятности - student2.ru . Исход Краткие теоретические сведения. Тема 1. Случайные события и их вероятности - student2.ru называется благоприятствующимданному событию, если его появление влечёт за собой наступление такого события.

Противоположным событию Краткие теоретические сведения. Тема 1. Случайные события и их вероятности - student2.ru называется событие Краткие теоретические сведения. Тема 1. Случайные события и их вероятности - student2.ru , состоящее в том, что событие Краткие теоретические сведения. Тема 1. Случайные события и их вероятности - student2.ru не происходит. Например, противоположным событию, определяемому словами «хотя бы один…» является событие, определяемое словами «ни один…». Если вероятность Краткие теоретические сведения. Тема 1. Случайные события и их вероятности - student2.ru известна или легко может быть найдена, то вероятность Краткие теоретические сведения. Тема 1. Случайные события и их вероятности - student2.ru вычисляют по формуле: Краткие теоретические сведения. Тема 1. Случайные события и их вероятности - student2.ru .

Для вычисления общего числа Краткие теоретические сведения. Тема 1. Случайные события и их вероятности - student2.ru элементарных исходов и числа Краткие теоретические сведения. Тема 1. Случайные события и их вероятности - student2.ru элементарных исходов, благоприятствующих рассматриваемому событию, широко используются правила и формулы комбинаторики. Одной из основных задач комбинаторики является подсчёт числа комбинаторных конфигураций (комбинаций элементов), образованных из элементов некоторых конечных множеств в соответствии с заданными правилами. Примерами таких комбинаций являются перестановки, размещения и сочетания.

Сочетаниями из Краткие теоретические сведения. Тема 1. Случайные события и их вероятности - student2.ru элементов по Краткие теоретические сведения. Тема 1. Случайные события и их вероятности - student2.ruназываются комбинации элементов, отличающиеся друг от друга только составом элементов. Они рассматриваются как элементарные исходы эксперимента, состоящего в одновременном выборе без возвращения любых Краткие теоретические сведения. Тема 1. Случайные события и их вероятности - student2.ru элементов из Краткие теоретические сведения. Тема 1. Случайные события и их вероятности - student2.ru различных элементов, а их общее число Краткие теоретические сведения. Тема 1. Случайные события и их вероятности - student2.ru определяется формулой:

Краткие теоретические сведения. Тема 1. Случайные события и их вероятности - student2.ru , где Краткие теоретические сведения. Тема 1. Случайные события и их вероятности - student2.ru , Краткие теоретические сведения. Тема 1. Случайные события и их вероятности - student2.ru .

Размещениями из Краткие теоретические сведения. Тема 1. Случайные события и их вероятности - student2.ru элементов по Краткие теоретические сведения. Тема 1. Случайные события и их вероятности - student2.ruназываются комбинации элементов, отличающиеся друг от друга как составом элементов, так и порядком их следования. Они рассматриваются как элементарные исходы эксперимента, состоящего сначала в одновременном выборе без возвращения любых Краткие теоретические сведения. Тема 1. Случайные события и их вероятности - student2.ru элементов из Краткие теоретические сведения. Тема 1. Случайные события и их вероятности - student2.ru различных элементов, а затем в произвольном их упорядочивании. Общее число Краткие теоретические сведения. Тема 1. Случайные события и их вероятности - student2.ru размещений определяется формулой: Краткие теоретические сведения. Тема 1. Случайные события и их вероятности - student2.ru .

Перестановками из Краткие теоретические сведения. Тема 1. Случайные события и их вероятности - student2.ru элементовназываются комбинации элементов, отличающиеся друг от друга только порядком их следования. Они рассматриваются как элементарные исходы эксперимента, состоящего в произвольном упорядочивании множества, состоящего из Краткие теоретические сведения. Тема 1. Случайные события и их вероятности - student2.ru различных элементов, а их общее число Краткие теоретические сведения. Тема 1. Случайные события и их вероятности - student2.ru определяется формулой Краткие теоретические сведения. Тема 1. Случайные события и их вероятности - student2.ru .

Для подсчёта числа всевозможных комбинаторных конфигураций широко используются правила комбинаторики.

Пусть Краткие теоретические сведения. Тема 1. Случайные события и их вероятности - student2.ru - элементы (действия) из некоторого конечного множества элементов (действий), которые можно выбрать (выполнить), соответственно, Краткие теоретические сведения. Тема 1. Случайные события и их вероятности - student2.ru способами. Тогда справедливы следующие правила.

Правило сложения. Осуществить выбор (выполнение) только одного из элементов (действий) можно Краткие теоретические сведения. Тема 1. Случайные события и их вероятности - student2.ru способами.

Правило умножения.Осуществитьпоследовательный выбор(выполнение) всех элементов (действий) можно Краткие теоретические сведения. Тема 1. Случайные события и их вероятности - student2.ru способами.

Пусть эксперимент состоит в том, что наудачу бросается точка в некоторую область Краткие теоретические сведения. Тема 1. Случайные события и их вероятности - student2.ru . Слово «наудачу» означает, что в таком эксперименте все точки области Краткие теоретические сведения. Тема 1. Случайные события и их вероятности - student2.ru «равновозможны». В этом случае вероятность попадания точки в некоторую часть Краткие теоретические сведения. Тема 1. Случайные события и их вероятности - student2.ru области Краткие теоретические сведения. Тема 1. Случайные события и их вероятности - student2.ru равна отношению меры (длины, площади, объёма) этой части к мере всей области Краткие теоретические сведения. Тема 1. Случайные события и их вероятности - student2.ru : Краткие теоретические сведения. Тема 1. Случайные события и их вероятности - student2.ru , в предположении, что указанные меры определены, причём Краткие теоретические сведения. Тема 1. Случайные события и их вероятности - student2.ru . Данное определение вероятности события называют геометрическим определением вероятности.

1.2 Условная вероятность. Формулы сложения и умножения вероятностей. Формула полной вероятности. Формула Байеса.

Всякое случайное событие Краткие теоретические сведения. Тема 1. Случайные события и их вероятности - student2.ru можно рассматривать как подмножество Краткие теоретические сведения. Тема 1. Случайные события и их вероятности - student2.ru (обратное утверждение, вообще говоря, места не имеет), состоящее из всех тех Краткие теоретические сведения. Тема 1. Случайные события и их вероятности - student2.ru , которые благоприятствуют событию Краткие теоретические сведения. Тема 1. Случайные события и их вероятности - student2.ru ( Краткие теоретические сведения. Тема 1. Случайные события и их вероятности - student2.ru ). Множество Краткие теоретические сведения. Тема 1. Случайные события и их вероятности - student2.ru называют достоверным событием, а пустое множество Краткие теоретические сведения. Тема 1. Случайные события и их вероятности - student2.ru , являющееся по определению подмножеством Краткие теоретические сведения. Тема 1. Случайные события и их вероятности - student2.ru , называют невозможным событием.

Если Краткие теоретические сведения. Тема 1. Случайные события и их вероятности - student2.ru , то говорят, что событие Краткие теоретические сведения. Тема 1. Случайные события и их вероятности - student2.ru влечёт событие Краткие теоретические сведения. Тема 1. Случайные события и их вероятности - student2.ru .

Произведением событий Краткие теоретические сведения. Тема 1. Случайные события и их вероятности - student2.ru и Краткие теоретические сведения. Тема 1. Случайные события и их вероятности - student2.ru называют событие Краткие теоретические сведения. Тема 1. Случайные события и их вероятности - student2.ru , происходящее тогда и только тогда, когда происходят одновременно оба события Краткие теоретические сведения. Тема 1. Случайные события и их вероятности - student2.ru и Краткие теоретические сведения. Тема 1. Случайные события и их вероятности - student2.ru . События Краткие теоретические сведения. Тема 1. Случайные события и их вероятности - student2.ru и Краткие теоретические сведения. Тема 1. Случайные события и их вероятности - student2.ru называют несовместными, если Краткие теоретические сведения. Тема 1. Случайные события и их вероятности - student2.ru .

Суммой событий Краткие теоретические сведения. Тема 1. Случайные события и их вероятности - student2.ru и Краткие теоретические сведения. Тема 1. Случайные события и их вероятности - student2.ru называют событие Краткие теоретические сведения. Тема 1. Случайные события и их вероятности - student2.ru , происходящее тогда и только тогда, когда происходит хотя бы одно из событий Краткие теоретические сведения. Тема 1. Случайные события и их вероятности - student2.ru или Краткие теоретические сведения. Тема 1. Случайные события и их вероятности - student2.ru .

Разностью событий Краткие теоретические сведения. Тема 1. Случайные события и их вероятности - student2.ru и Краткие теоретические сведения. Тема 1. Случайные события и их вероятности - student2.ru называют событие Краткие теоретические сведения. Тема 1. Случайные события и их вероятности - student2.ru , происходящее тогда и только тогда, когда происходит событие Краткие теоретические сведения. Тема 1. Случайные события и их вероятности - student2.ru , но не происходит событие Краткие теоретические сведения. Тема 1. Случайные события и их вероятности - student2.ru . Событие Краткие теоретические сведения. Тема 1. Случайные события и их вероятности - student2.ru , происходящее тогда и только тогда, когда событие Краткие теоретические сведения. Тема 1. Случайные события и их вероятности - student2.ru не происходит, называют противоположнымсобытию Краткие теоретические сведения. Тема 1. Случайные события и их вероятности - student2.ru . Разность событий Краткие теоретические сведения. Тема 1. Случайные события и их вероятности - student2.ru всегда можно представить в виде Краткие теоретические сведения. Тема 1. Случайные события и их вероятности - student2.ru Краткие теоретические сведения. Тема 1. Случайные события и их вероятности - student2.ru .

Из определений вероятности следуют следующие её свойства:

1) Краткие теоретические сведения. Тема 1. Случайные события и их вероятности - student2.ru ; 2) Краткие теоретические сведения. Тема 1. Случайные события и их вероятности - student2.ru ; 3) Краткие теоретические сведения. Тема 1. Случайные события и их вероятности - student2.ru ; 4) Если Краткие теоретические сведения. Тема 1. Случайные события и их вероятности - student2.ru , то Краткие теоретические сведения. Тема 1. Случайные события и их вероятности - student2.ru ;

5) Краткие теоретические сведения. Тема 1. Случайные события и их вероятности - student2.ru; 6) Краткие теоретические сведения. Тема 1. Случайные события и их вероятности - student2.ru .

Пусть Краткие теоретические сведения. Тема 1. Случайные события и их вероятности - student2.ru и Краткие теоретические сведения. Тема 1. Случайные события и их вероятности - student2.ru - наблюдаемые события в эксперименте, причём Краткие теоретические сведения. Тема 1. Случайные события и их вероятности - student2.ru . Условной вероятностью Краткие теоретические сведения. Тема 1. Случайные события и их вероятности - student2.ru осуществления события Краткие теоретические сведения. Тема 1. Случайные события и их вероятности - student2.ru при условии, что событие Краткие теоретические сведения. Тема 1. Случайные события и их вероятности - student2.ru произошло в результате данного эксперимента, называется величина, определяемая равенством: Краткие теоретические сведения. Тема 1. Случайные события и их вероятности - student2.ru Краткие теоретические сведения. Тема 1. Случайные события и их вероятности - student2.ru .

События Краткие теоретические сведения. Тема 1. Случайные события и их вероятности - student2.ru и Краткие теоретические сведения. Тема 1. Случайные события и их вероятности - student2.ru , имеющие ненулевую вероятность, называются независимыми, если выполняется равенство Краткие теоретические сведения. Тема 1. Случайные события и их вероятности - student2.ru или Краткие теоретические сведения. Тема 1. Случайные события и их вероятности - student2.ru , в противном случае события Краткие теоретические сведения. Тема 1. Случайные события и их вероятности - student2.ru и Краткие теоретические сведения. Тема 1. Случайные события и их вероятности - student2.ru называются зависимыми.

Сложным называют событие, наблюдаемое в эксперименте и выраженное через другие наблюдаемые в том же эксперименте события с помощью допустимых алгебраических операций над событиями.

Вероятность осуществления того или иного сложного события вычисляется с помощью формул умножения вероятностей:

1) Краткие теоретические сведения. Тема 1. Случайные события и их вероятности - student2.ru , Краткие теоретические сведения. Тема 1. Случайные события и их вероятности - student2.ru ;

2) Краткие теоретические сведения. Тема 1. Случайные события и их вероятности - student2.ru (для независимых событий)

и формул сложения вероятностей:

3) Краткие теоретические сведения. Тема 1. Случайные события и их вероятности - student2.ru ;

4) Краткие теоретические сведения. Тема 1. Случайные события и их вероятности - student2.ru (для несовместных событий).

Пусть Краткие теоретические сведения. Тема 1. Случайные события и их вероятности - student2.ru - наблюдаемые события для данного эксперимента, попарно несовместные ( Краткие теоретические сведения. Тема 1. Случайные события и их вероятности - student2.ru при Краткие теоретические сведения. Тема 1. Случайные события и их вероятности - student2.ru ) и образующие полную группу событий ( Краткие теоретические сведения. Тема 1. Случайные события и их вероятности - student2.ru ). Такие события Краткие теоретические сведения. Тема 1. Случайные события и их вероятности - student2.ru принято называть гипотезамипо отношению к событию Краткие теоретические сведения. Тема 1. Случайные события и их вероятности - student2.ru . Тогда для любого наблюдаемого в эксперименте события Краткие теоретические сведения. Тема 1. Случайные события и их вероятности - student2.ru имеет место формула полной вероятности:

Краткие теоретические сведения. Тема 1. Случайные события и их вероятности - student2.ru , где Краткие теоретические сведения. Тема 1. Случайные события и их вероятности - student2.ru .

Пусть Краткие теоретические сведения. Тема 1. Случайные события и их вероятности - student2.ru - совокупность гипотез по отношению к событию Краткие теоретические сведения. Тема 1. Случайные события и их вероятности - student2.ru , безусловные вероятности которых Краткие теоретические сведения. Тема 1. Случайные события и их вероятности - student2.ru , называемые априорными(доопытными), известны и пусть стало известно, что в результате эксперимента событие Краткие теоретические сведения. Тема 1. Случайные события и их вероятности - student2.ru произошло. Тогда апостериорные(послеопытные) вероятности Краткие теоретические сведения. Тема 1. Случайные события и их вероятности - student2.ru гипотез Краткие теоретические сведения. Тема 1. Случайные события и их вероятности - student2.ru при условии, что событие Краткие теоретические сведения. Тема 1. Случайные события и их вероятности - student2.ru имело место, вычисляются по формуле Байеса:

Краткие теоретические сведения. Тема 1. Случайные события и их вероятности - student2.ru , где Краткие теоретические сведения. Тема 1. Случайные события и их вероятности - student2.ru .

Формула Байеса позволяет переоценить вероятность каждой из гипотез после поступления дополнительной информации относительно осуществления тех или иных наблюдаемых событий.

Наши рекомендации