Проверка наличия тенденции (тренда)

Таблица 1. Прожиточный минимум населения Пензенской области в 1997г.

Год (квартал)	Прожиточный минимум, рубл..уi	Di	(Di )2		(уi - )2
1-квартал 2 - квартал 3 – квартал 4 – квартал	362,6 374,5 366,2 371,0	- 11,9 -8,3 4,8	- 141,6 68,9 23,0	362,6 365,4 368,2 371,0	82,8 4,0
Итого	1474,3	-	233,5	-	86,8

Средний абсолютный прирост ряда равняется

.

.

.

Так, как условие (16) выполняется, то данный метод применим для использования прогноза. Тогда прожиточный минимум населения Пензенской области в первом квартале 1998 года следует ожидать

= 371,0 + 2,8 = 373,8 руб.

Сравнивая результаты прогноза с данными Пензенского Госкомоблстата получим ошибку прогноза

d = 387,4 – 373,8 = 13,6 руб.

Выполним аналогичные вычисления прогноза прожиточного минимума в первом квартале 1999 используя данные прожиточного минимума в 1998 году (таблица 2).

Таблица 2. Прожиточный минимум населения Пензенской области в 1998г.

Год (квартал)	Прожиточный минимум, руб. уi	Di	(Di )2		(уi - )2
1-квартал 2 - квартал 3 – квартал 4 – квартал	387,4 387,3 418,7 560,4	- -0,1 31,4 141,7	- 0,01 986,0 20078,9	387,4 445,0 502,6 560,2	3329,3 7039,2
Итого	1753,8	-	21064,9	-	10368,5

.

Так, как условие (16) выполняется, то данный метод применим для использования прогноза. Тогда прожиточный минимум населения Пензенской области в первом квартале 1999 года следует ожидать

= 560,4 + 57,6 = 618 руб.

Сравнивая результаты прогноза с данными, приведенными в Информационном Бюллетене Министерства труда и социального развития правительства Пензенской области № 13, 2000г., получим ошибку прогноза

d = 730 – 618 = 112 руб.

Анализируя данные двух прогнозов можно сделать вывод, что для первого прогноза получены удовлетворительные результаты и, наоборот, для второго случая данные прогноза получились явно заниженными. Поэтому произведем вычисления, пользуясь вторым методом прогноза.

Прогнозирование по среднему темпу роста осуществляется в случае, когда установлено, что общая тенденция ряда характеризуется показательной (экспоненциальной) кривой. Для нахождения тенденции необходимо определить средний коэффициент роста, возведенный в степень, соответствующую периоду экстраполяции

, (17)

где y_i – последний уровень ряда динамики;

t – срок прогноза;

- средний коэффициент роста.

Тогда для данных табл. 2 имеем

У_{4-квр. 98г.} = 560,4; .

Прогнозируемая величина прожиточного минимума в первом квартале 1999 года в соответствии с зависимостью (17) равна

У_{1-квр. 99г.} = 560,4* 1,13 = 633,2 руб.

Ошибка прогноза (d=730–633,2=96,8 руб.) несколько уменьшилась, но все равно является значительной.

Рассмотренные выше способы экстраполяции являются весьма приближенными. Потому наиболее распространенным методом прогнозирования является метод аналитического выражения тренда. При этом для выхода за границы исследуемого периода достаточно продолжить значение независимой переменной времени (t).

Проверка наличия тенденции (тренда).

Существует около десятка критериев проверки наличия тренда, наиболее распространенными их них является критерий, связанный с проверкой существенности разности средних и критерий определяемый по методу Фостера–Стюарта [7].

При проверке существенности разности средних ряд динамики разбивается на две равные или почти равные части. Проверяется гипотеза о существовании разности средних:

Н₀: _.

Так как число членов анализируемого ряда, как правило, мало, то для проверки гипотезы воспользуемся теорий малой выборки. За основу проверки берется ta – критерий Стьюдента. При t ³ ta гипотеза об отсутствии тренда отвергается и наоборот при t < или = ta гипотеза (Н₀)принимается. Здесь t – расчетное значение, найденное для анализируемых данных. ta – табличное значение критерия при уровне вероятности ошибки, равном a.

В случае равенства или при несущественном различии дисперсий двух исследуемых совокупностей ( = ) определение расчетного значения t производится по зависимости

, (18)

где и средние для первой и второй половины ряда динамики;

n₁ и n₂ - число наблюдений в этих рядах;

s – среднеквадратическое отклонение разности средних., определяемое по зависимости

. (19)

Дисперсии для первой и второй частей ряда рассчитываются по зависимости

(20).

Проверка гипотезы о равенстве дисперсией осуществляется с помощью F-критерия, основанного на сравнении расчетного отношения с табличным. Расчетное значение критерия определяется по формуле

, (21)

Если расчетное значение F меньше табличного, при заданном уровне вероятности, то гипотеза о равенстве дисперсией принимается. Если F больше, чем табличное значение, то гипотеза о равенстве дисперсий отклоняется и зависимость для расчета t не пригодна для использования.

При выполнении условия о равенстве дисперсий, определяется значение ta и проверяется гипотеза (Н₀). При этом теоретическое значение ta определяется с числом степеней свободы равным n₁ +n₂–2

В заключении следует отметить, что изложенный выше метод дает положительные результаты для рядов с монотонной тенденцией. Когда же ряд динамики меняет общее направление развития, то точка поворота тенденции оказывается близкой к середине ряда. Поэтому средние двух отрезков будут близки, а проверка может не показать наличие тенденции.

Метод Фостера–Стюарта помимо определения наличия тенденции позволяет также обнаружить тренд дисперсии уровней ряда динамики, что важно знать при анализе и прогнозировании социально - экономических явлений.

Алгоритм расчета состоит из следующих этапов.

1. Производится сравнение каждого уровня ряда со всеми предыдущими, при этом

Если у_i > у_i-1; у_i-2 …, у₁, то U_i = 1 ; e_i = 0;

При у_{i <} у_i-1; у_i-2 …, у₁, то U_i = 0 ; e_i = 1;

2. Вычисляются значения величин S и d

S = ∑S_i ; d = ∑d_i , (22)

где S_i = U_i + e_i ;

d_i = U_i - e_i.

Анализируя формулу (22) нетрудно заметить, что величина S может принимать значения в интервале 0 < или = S < или = n –1, причем S=0, когда все уровни равны между собой, и S = n – 1, когда ряд динамики монотонно убывает или возрастает. Показатель S характеризует тенденцию изменения дисперсий ряда динамики.

Если все уровни ряда равны между собой, тогда ∑U_i =∑e_i (данное условие выполняется для ряда, который в первой половине является монотонно убывающим, а во второй – монотонно возрастающим).

Если уровни подъема и спада чередуются, причем каждое следующее значение уровня подъема (спада) должно быть больше (меньше) всех последующих.

Оба показателя S и d., асимптотически нормальны и имеют независимые распределения.

3. Проверятся с использованием t – критерия Стьюдента гипотеза о том, можно ли считать случайными разности S - µ и d =0

; , (23 )

где µ – среднее значение величины S, определенное для ряда, в котором уровни расположены случайным образом;

σ₁ – стандартная ошибка величины S;

σ₂ – стандартная ошибка величины d.

Значения µ, σ₁, σ₂ табулированы и приведены в соответствующих таблицах.

4. Далее необходимо сравнить расчетные значения t_s и t_d c табличными при заданном уровне значимости: если t_s < t_табл и t_d < t_табл , то гипотеза об отсутствии тренда в средней дисперсии подтверждается.

Рассмотрим в качестве примера определение наличия тренда в ряду динамики показателей демографической ситуации в Пензенской области [9].

Таблица 3. Показатель рождаемости в Пензенской области за 1990-1999гг.

Год	Yi Тыс. чел.	Ui	ei
	19.4 17,6 15,6 13,8 13,5 12,8 12,0 11,5 11,6 11,2

По формуле (22) определяем S=9, d=-7. По таблицам [7] при n=10, m =3,858, s₁ = 1,288, s₂ = 1,964.

Подставляя полученные значения в формулу ( 23 ) получим

; .

Ближайшее табличное значение t_табл для двухстороннего критерия при уровне значимости 0,10 равно t_табл=1,812, т. е. t_табл <t_S, t_табл < t_d. Следовательно гипотеза об отсутствии тенденции в рассматриваемом ряду отвергается и принимается наличие тенденции.