В чем сущность метода Алмон? При какой структуре лага он применим?

Рассмотрим общую модель с распределенным лагом, имеющую конечную максимальную величину лага l, которая описывается соотношением . Предположим, было установлено, что в исследуемой модели имеет место полиномиальная структура лага, т. е. зависимость коэффициентов регрессии b_j от величины лага описывается полиномом k - й степени. Частным случаем полиномиальной структуры лага является линейная модель. Примерами лагов, образующих полином второй степени. Перевернутая V -образная структура лага также может быть аппроксимирована с помощью полинома первой степени. Наконец, график является примером модели лагов в форме полинома 3-й степени. Лаги, структуру которых можно описать с помощью полиномов, называют также лагами Алмон, по имени Ш. Алмон, впервые обратившей внимание на такое представление лагов.

Формально модель зависимости коэффициентов b_j от величины лага в форме полинома можно записать так:

• для полинома первой степени b_j = c₀ + c₁ j ;

• для полинома второй степени b_j = c₀ + c₁ j + c₂ j² ;

• для полинома третьей степени b_j = c₀ + c₁ j + c₂ j²+ c₃ j³ и т. д.

Применение метода Алмон сопряжено с рядом проблем. Во-первых, величина лага / должна быть известна заранее. При ее определении лучше исходить из максимально возможного лага, чем ограничиваться лагами небольшой длины. Выбор меньшей величины лага по сравнению с его реальным значением приведет к тому, что в модели регрессии не будет учтен фактор, оказывающий значительное влияние на результат, т. е. к неверной спецификации модели. Влияние этого фактора в такой модели будет выражено в остатках. Тем самым в модели не будут соблюдаться предпосылки МНК о случайности остатков, а полученные оценки ее параметров окажутся неэффективными и смещенными. Выбор большей величины лага по сравнению с ее реальным значением будет означать включение в модель статистически незначимого фактора и снижение эффективности полученных оценок, однако эти оценки все же будут несмещенными.

Во-вторых, необходимо установить степень полинома k. Обычно на практике ограничиваются рассмотрением полиномов второй и третьей степени, применяя следующее простое правило: выбранная степень полинома k должна быть на единицу больше числа экстремумов в структуре лага. Если априорную информацию о структуре лага получить невозможно, величину к проще всего определить путем сравнения моделей, построенных для различных значений k, и выбора наилучшей модели.

Метод Алмон имеет два неоспоримых преимущества:

• он достаточно универсален и может быть применен для моделирования процессов, которые характеризуются разнообразными структурами лагов;

• при относительно небольшом количестве переменных в (обычно выбирают k = 2 или k = 3), которое не приводит к потере значительного числа степеней свободы, с помощью метода Алмон можно построить модели с распределенным лагом любой длины.

Опешите методику применения подхода Койка для построения модели с распределенным лагом. При какой структуре лага он применим?

Подход к оценке параметров моделей с распределенным лагом типа впервые был предложен Л.М. Койком. Он предположил, что существует некоторый постоянный темп λ ( 0 < λ < 1) уменьшения во времени лаговых воздействий фактора на результат. Если, например, в период t результат изменялся под воздействием изменения фактора в этот же период времени на b₀ ед., то под воздействием изменения фактора, имевшего место в период t — 1, результат изменится на b₀ • λ ед.; в период t - 2- на b₀ * λ * λ = b₀ * λ². Для некоторого периода t — l это изменение результата составит: b₀ * λ^t

В более общем виде можно записать:

b_j = b₀ * λ^j ; j = 0, 1, 2, …, 0 < λ < 1 .

Ограничение на значения λ > 0 обеспечивает одинаковые знаки для всех коэффициентов b_j >0, а ограничение λ < 1 означает, что с увеличением лага значения параметров модели убывают в геометрической прогрессии. Чем ближе λ, к 0, тем выше темп снижения воздействия фактора на результат во времени и тем большая доля воздействия на результат приходится на текущие значения фактора x_t .

Изложите методику применения метода главных компонентов для построения модели с распределенным лагом.

Значения переменной w_t были получены расчетным путем. Для экономики Канады по данным за 1961—1981 гг. авторы получили следующее уравнение регрессии:

U_t = δ₀ + δ₁ * U_t-1 + δ₂ * t + δ₃ * w_t + ε_{t ,}

где U_t ,U_t-1 — соответственно уровень безработицы в периоды t и t —1;

δ_{0 ,}δ_1, δ_2, δ₃ - параметры модели;

w_t — превышение реальной заработной платы над ее уровнем в условиях полной занятости;

t — время;

ε_t — ошибка.

Переменная w_t в этой модели является одним из факторов, определяющих спрос на труд. Если предположить, что переменная w_t оказывает влияние на уровень безработицы с бесконечным временным лагом в условиях геометрической структуры лага, то в соответствии с методом Койка мы получим следующую модель с распределенным лагом:

U_t = a + b₀ * w_t + b₀ * λ * w_t-1 + b₀ * λ² * w_t-1 +…+ c * t + ε_{t .}

Данная модель отличается от модели тем, что, помимо текущего и лаговых значений факторного признака, она учитывает фактор времени t. Проведя алгебраические преобразования в соответствии с методом Койка, нетрудно убедиться, что эта модель сводится к следующей модели авторегрессии.