Глава 3. Основные законы распределения

Рассмотрим законы распределения, наиболее часто встречающиеся в прикладных задачах, связанных с учетом случайных факторов:

1. биномиальный закон (закон Бернулли);

2. равномерный закон;

3. закон Пуассона;

4. показательный закон;

5. нормальный закон (закон Гаусса).

Биномиальный закон

Дискретная случайная величина x называется биномиальной (подчиненной биномиальному закону распределения) с параметрами (n, p), если она принимает значения 0, 1, 2, …, n и вероятности этих значений даются формулой

, k = 0, 1, …, n, q = 1 – p, p Î (0, 1).

1. Проверим, что .

Воспользуемся формулой бинома Ньютона:

.

отсюда следует:

.

2. Числовые характеристики даются формулами

m_x = np, D_x = npq, . (15)

(будут доказаны позднее, см.§2 главы 5).

3. Наиболее вероятное значение биномиальной случайной величины k₀ (p_k = max) вычисляется из двойного неравенства:

np – q ≤ k₀ ≤ np + p.

4.пример биноминальной случайной величины- число успехов в серии из n независимых испытаний. Здесь параметром р служит вероятность успеха при одном испытании.

Равномерный закон

Непрерывная случайная величина x называется равно­мерно распределенной на [a,b], если ее плотность вероятности дается формулой

график f (x) см. рис. 16.

1. График функции распределения F (x) см. на рис. 17.

2. Числовые характеристики равномерно распределенной случайной величины x даются формулами (14).

3. Пример- показание рулетки.

Закон Пуассона

Дискретная случайная величина x называется распределенной по закону Пуассона с параметром а, если она принимает любые целые неотрицательные значения и вероятности значений даются формулой

, k = 0, 1, 2, … .

1. Проверим, что .

.

2. Найдем числовые характеристики

.

Аналогично можно доказать:

.

Помнить m_x = a, D_x = a, s_x = . (16)

3. Примеры:

1) число отказов конвейера за фиксированное время t,

2) число вызовов, поступающих на АТС за фиксирован­ное время t,

3) число пассажиров, входящих на станцию метро за фиксирован­ное время t,

4) число автомашин, прибывающих на автозап-равочную станцию за фиксирован­ное время t.

4. Все перечисленные выше примеры можно охватить единой схемой, которую мы сейчас рассмотрим.

Последовательность событий, происходящих одно за другим, называется потоком событий. Поток событий называется регулярным, если события наступают в определенные заранее известные моменты времени, и случайным, если события наступают в случайные моменты времени. Далее будем говорить только о случайных потоках, слово "случайный" будем опускать.

Поток событий называется стационарным, если в каждую секунду наступает в среднем одинаковое число событий потока. Это означает, что математическое ожидание числа событий, наступающих в данную секунду равно математическому ожиданию числа событий, наступающих в следующую секунду.

Поток событий называется ординарным, если события происходят не одновременно, а одно за другим; более точно: если вероятность одновременного наступления двух или нескольких событий мала по сравнению с вероятностью наступления одного события в данный момент времени.

Поток событий называется потоком с отсутствием последействия, если информация о числе событий, наступивших в прошлом, не позволяет сделать никаких прогнозов о числе событий, которые наступят в будущем. Это свойство означает полную стихийность потока.

Поток событий называется простейшим, если он обладает свойствами стационарности, ординарности и отсутствия последствия.

Обозначим через l– среднее число событий простейшего потока, наступивших за единицу времени. В силу свойства стационарности l=const. Число l называется интенсивностью простейшего потока, является его полной характеристикой.

обозначим x число событий простейшего потока, наступающих за фиксированное время t. Можно доказать, что случайная величина x подчинена закону Пуассона:

, k = 0, 1, 2, …, где а = lt.

Очевидно, а – среднее число событий простейшего потока, наступающих за время t; то есть математическое ожидание числа событий, наступающих за время t. Рассмотренные выше четыре примера потока событий являются приближенно простейшими, если в качестве периода времени t взять промежуток времени, на котором имеет место стационарность потока. Поэтому при данном условии число событий за время t в этих примерах подчинено закону Пуассона с параметром а = lt.

Показательный закон

Непрерывная случайная величина x называется показа­тельной (подчиненной показательному закону распределения), если ее плотность вероятности дается формулой

Число l называется параметром показательной случайной величины.

График плотности вероятности имеет вид.

Рис. 18

1. Покажем, что площадь бесконечной фигуры S между графиком функции f (x) и осью абсцисс равна 1.

.

2. Найдем числовые характеристики:

.

Здесь учтено, что

.

.

Здесь, аналогично, учтено, что .

Помнить:

, , . (17)

3. Найдем функцию распределения F (x).

.

Пусть х ≤ 0: F (x) = P (x < x) = 0,

x>0: .

Следовательно,

График F (x):

Рис. 19

4.Примерами показательных случайных величин являются продолжительность телефонного разговора, время безотказной работы автоматической линии. Имеет место следующий более общий результат.

Рассмотрим простейший поток событий. Обо­значим Т промежуток времени между сосед­ними событиями потока (рис. 20).

Утверждение. Т – показательная случайная величина с параметром l, равным интенсивности данного простейшего потока.

Доказательство. Вычислим функцию распределения F (x) случайной величины. Пусть:

1). х ≤ 0:

2). x > 0: F (x) = P (0≤ T ≤ x) = Р (за время х более одного события) = 1 – р (за время х ни одного события) = = .

Мы получили:

Отсюда следует

что и требовалось доказать.

Мы использовали, что число событий простейшего потока с интенсивностью l, наступающих за время х, является пуассоновской случайной величиной с параметром а = lх.

Нормальный закон

Непрерывную случайную величину x называют нормальной с параметрами (a, s) и пишут x = N (a, s), если ее плотность вероятности дается формулой

.

График f (x) изображен на рис.21.

Можно доказать:

1. Площадь бесконечной фигуры между кривой f (x) и осью абсцисс равна 1.

2. Параметры (a, s) нормальной случайной величины x имеют смысл математического ожидания и среднеквадратического отклонения (СКО):

m_x = a, D_x = s², s_x = s. (18)

3. F(x) = , где Ф (х) - функция Лапласа (12).

Следующие свойства 4-6 вытекают из 2,3 с учетом свойств функции распределения случайной величины и функции Лапласа.

4. . (19)

Действительно,

5. .

Имеем

6. .

В самом деле

.

Значения нормальной случайной величины с практической достоверностью лежат в интервале (а ± 3s) (рис 21) (правило трех сигм).

7. Примеры нормальных случайных величин

1. Показание измерительного прибора. В этом случае а – истинное значение измеряемой величины, s характе­ризует точность прибора (называется среднеквадрати­ческой ошибкой прибора).

2. Размер серийно изготовляемой детали. В этом случае а – размер детали по ГОСТу, s характеризует точность технологии.

3. Величина анодного тока в электронной лампе.

4. Высота стебля пшеницы на поле, и т. д.

Помнить: нормальный закон широко распространен в природе и в практической деятельности человека, связанной со случайными факторами. Причина этого будет объяснена в главе 5.

Замечание. Случайные величины x₁, x₂, … , x_n называются независимыми в совокупности (кратко: независимыми), если знание значений любой части из них не дает новой информации об остальных. Справедливо следующее утверждение: если случайные величины x₁, x₂, … , x_n независимы и нормальны с одними и теми же а, s, то сумма x₁ + … + x_n также нормальна, при этом имеет место формула:

.