Корреляционная зависимость

Изучить:

а) виды зависимостей между признаками (функциональная, статистическая, корреляционная);

б) двумерная случайная величина и ее числовые характеристики;

в) момент связи (ковариация) между составляющими X и Y двумерной случайной величины;

г) коэффициент корреляции и его свойства;

д) выборочный коэффициент корреляции;

е) проверка гипотезы о значимости коэффициента корреляции генеральной совокупности.

Корреляционный анализ (correlation analysis) [лат. correlatio — соотношение] - раздел математической статистики, объединяющий практические методы исследования корреляционной связи между двумя и более случайными признаками или факторами.

Цель корреляционного анализа — обеспечить получение некоторой информации об одной переменной с помощью другой переменной. В случаях, когда возможно достижение цели, говорят, что переменные коррелируют. В самом общем виде принятие гипотезы о наличии корреляции означает что изменение значения переменной X, произойдет одновременно с пропорциональным изменением значения Y.

Если зависимость между признаками на графике указывает на линейную корреляцию, рассчитывают коэффициент корреляции r, который позволяет оценить тесноту связи переменных величин, а также выяснить, какая доля изменений признака обусловлена влиянием основного признака, какая – влиянием других факторов. Коэффициент варьирует в пределах от –1 до +1. Если r=0, то связь между признаками отсутствует. Равенство r=0 говорит лишь об отсутствии линейной корреляционной зависимости, но не вообще об отсутствии корреляционной, а тем более статистической зависимости. Если r = ±1, то это означает наличие полной (функциональной) связи. При этом все наблюдаемые значения располагаются на линии регрессии, которая представляет собой прямую.

Практическая значимость коэффициента корреляции определяется его величиной, возведенной в квадрат, получившая название коэффициента детерминации.

Задание 9

9.1.

По выборке X и Y построить поле корреляции и выдвинуть предположение о существовании (или не существовании) зависимости между признаками X и Y.

Рис.9.1

Из рисунка видно, что точки на графике расположены беспорядочно, соответственно можно сделать такой вывод, что корреляционной зависимости между признаками X и Y нет.

9.2.

Найти выборочный коэффициент корреляции и подтвердить (опровергнуть) вывод, сделанный в пункте 9.1.

Данные в корреляционной таблице представляют случайную выборку. Статистические числовые характеристики (S_х,S_y), полученные по этой выборке, являются оценками параметров генеральной совокупности, поэтому о тесноте зависимости между признаками X и Y мы судим по величине оценки коэффициента корреляции r. Следует проверить его значимость, т.е. установить – достаточна ли его величина при данном объеме выборки (n=20) для вывода о наличии корреляционной зависимости между признаками X и Y.

Выборочный коэффициент корреляции рассчитывается по формуле:

№
			1,96	3,4596	2,604
			5,76	1,2996	-2,736
			0,16	3,4596	0,744
			0,16	1,2996	-0,456
			0,16	8,1796	1,144
			2,56	0,0196	0,224
			11,56	0,7396	2,924
			0,36	3,4596	-1,116
			5,76	0,7396	2,064
			2,56	0,0196	0,224
			2,56	1,2996	1,824
			0,16	1,2996	-0,456
			1,96	1,2996	-1,596
			6,76	1,2996	2,964
			0,36	8,1796	-1,716
			6,76	8,1796	-7,436
			6,76	9,8596	8,164
			0,36	4,5796	1,284
			0,16	8,1796	1,144
			1,96	4,5796	-2,996
сумма			58,8	71,432	6,8

Табл.9.2.1

Так как значение коэффициента корреляции очень мало, то можно подтвердить предположение, сделанное в п. 9.1 и сказать, что связь слабая.

9.3.

Проверить гипотезу о значимости выборочного коэффициента корреляции.

Проверим значимость выборочного коэффициента корреляции r, т.е. установим достаточна ли его величина при данном объеме выборки для обоснованного вывода о наличии корреляционной связи.

1) H₀: r=0;

H₁: r 0

2) - уровень значимости.

3) По распределению Стьюдента:

4) (двусторонняя критическая область)

Рис.9.3.1

Вывод: Гипотеза не отвергается , т.е. между признаками X и Y отсутствует корреляционная зависимость.

Уравнение регрессии

Изучить:

а) понятие парной линейной регрессии;

б) составление системы нормальных уравнений;

в) свойства оценок по методу наименьших квадратов;

г) методику нахождения уравнения линейной регрессии.

Предположим, что между двумя признаками Х и У существует некоторая взаимосвязь (корреляционная зависимость), при которой с изменением одного признака изменяется и другой, но каждому значению признака Х могут соответствовать разные, заранее непредсказуемые значения признака У, и наоборот.

Основная задача корреляционного анализа состоит в выявлении связи между случайными переменными путем точечной и интервальной оценок различных ( парных, множественных, частных) коэффициентов корреляции Дополнительная задача корреляционного анализа (являющаяся основной в регрессионном анализе) заключается в оценке уравнений регрессии одной переменной по другой.

Связь между признаками бывает положительной и отрицательной.

Если с увеличением (уменьшением) одного признака в основном увеличиваются (уменьшаются) значения другого, то такая корреляционная связь называется прямой или положительной.

Если с увеличением (уменьшением) одного признака в основном уменьшаются (увеличиваются) значения другого, то такая корреляционная связь называется обратной или отрицательной.

Задание 10

10.1.

Предположив, что между признаками X и Y существует линейная зависимость, найти коэффициенты уравнения регрессии Y на X и записать уравнение в виде y = b₀ + b₁x.

№			*
сумма

Табл.10.1.1

y = b₀ + b₁x.

10.2.

Построить полученную линию регрессии на поле корреляции признаков X и Y.

Рис.10.2 (линия регрессии)

Заключение

В ходе выполнения курсовой работы проводились исследования конкретной генеральной совокупности, которая представляет собой результаты тестирования 401 курсанта.

В результате выполнения заданий курсовой работы были:

· закреплены теоретические знания и практические навыки по математической статистике;

· изучены и сформулированы выводы о законе распределения, наличии и характере статистической связи между исследуемыми признаками;

· проведен анализ выборочной совокупности для дискретного и интервального статистических рядов двух числовых признаков.

· рассмотрен корреляционный и регрессионный анализ числовых признаков Х и Y;

Список литературы

1. В. Е. Гмурман “Теория вероятностей и математическая статистика”, «Высшая школа», 2004.

2. Кремер Г. «Математические методы статистики.» – М.: Мир, 1975

3. Колмогоров А.Н. Основные понятия теории вероятностей (2-е изд.) М.: Наука, 1974

4. Чернова Н.И. Лекции по теории вероятностей. Нсб: НГУ

5. Венцтель Е.С., Овчаров Л.А. Теория вероятностей. Задачи и упражнения. М.: Наука, 1969

6. Лихолетов И.И., Мацкевич И.П. Руководство к решению задач по высшей математике, теории вероятностей и математической статистике (2-е изд.). Мн.: Выш. школа, 1969

7.Конспект лекции.