К вопросу 7. Коэффициент вариации

До сих пор мы изучали показатели, которые были выражены в абсолютных величинах, т. е. в тех же именованных числах, что и варьирующий признак (в данном примере — в килограммах).

Однако квадратическое отклонение, как и всякая абсолютная величина, недостаточно наглядно характеризует колеблемость вари­ант вокруг средней величины.

О том, насколько велико это отклонение, можно судить только при расчете коэффициента вариации.

Коэффициент вариации представляет собой отношение среднего квадратического отклонения к средней арифметиче­ской и выражается в процентах.

Коэффициент вариации рассчитывается по формулам:

а) для среднего квадратического отклонения (простого):

и в нашем примере составит:

б) для среднего арифметического отклонения (взвешенного):

т.е.

Коэффициент вариации является отвлеченным числом и по­этому он наиболее удобен в измерении вариации признаков.

Кроме того, этот показатель можно использовать для сравнения колеблемости совокупностей как с одинаковыми, так и с различны­ми признаками.

Пример. Предположим, что мы определяем колеблемость веса одной кипы шерсти по двум партиям путем сравнения коэффициен­тов вариации I и II партий. Это будет сравнение колеблемости сово­купностей, имеющих одинаковые признаки. Или, например, требу­ется сравнить, что больше колеблется: средний объем товарооборо­та одной торговой фирмы или средний размер площади торгового зала, т. е. сравниваем совокупности с разными признаками и опре­деляем степень колеблемости этих различных признаков путем вы­числения коэффициентов вариации.

Дисперсия

Дисперсия — это средний квадрат отклонения всех значе­ний признака ряда распределения от средней арифметической.

Именно дисперсия и среднее квадратическое отклонение явля­ются основными наиболее употребляемыми показателями вариации.

Обозначается дисперсия буквой

где х — значение признака;

- средняя арифметическая;

п — численность совокупности.

Но

Поделив это выражение на п, учтем, что . Тогда

т. е. дисперсия равна разности среднего квадрата вариантов и квад­рата их средней (подразумевая здесь под "средней" среднюю ариф­метическую). И, наконец,

Заменяя в формуле определения дисперсии (D_x) среднее суммами, разделенными на численность совокупности, получим формулу:

имеющую некоторые технические преимущества для ее вычисле­ния. При ее применении округление производится только один раз и в самом конце вычисления.

Пример. В табл. 15 приведены данные для расчета дисперсии и среднего квадратического отклонения на примере стажа продав­цов торговой фирмы "Элегант", работающих в двух ее магазинах.

Для 1-го магазина:

Таблица.15

Данные для расчета дисперсии и среднего квадратического отклонения по стажу продавцов в двух магазинах фирмы "Элегант"

п/п	1-й магазин	2-й магазин
Стаж продавцов, лет (x)	отклонения от среднего	Квадрат отклонения	Стаж продавцов, лет (x)	отклонения от среднего	Квадрат отклонения
		-6,2	38,44		-1,2	1,44
		-5,2	27,04		-1,2	1,44
		-4,2	17,64		-0,2	0,04
		-4,2	17,64		-0,2	0,04
		-3,2	10,24		-0,2	0,04
б		1,8	3,24		-0,2	0,04
		2,8	7,84		0,8	0,64
		4,8	23,04		0,8	0,64
		2,8	33,64		0,8	0,64
		7,8	60,84		0,8	0,64
Итого			239,60			5,6

Таким образом, стаж продавцов отклоняется от среднего для первого магазина на 4,9 года, а для второго магазина — 0,75 года. Формула дисперсии для вариационного ряда с вариантами х и час­тотами/будет иметь вид:

где х — значение признака; — средняя арифметическая; f— частота.

Свойства дисперсии

Дисперсия обладает рядом простых свойств:

1. D_(a) = 0 — дисперсия постоянной величины равна нулю.

2. — дисперсия не меняется, если все варианты увеличить или уменьшить на одно и то же число.

3. — постоянный множитель выносится за знак дисперсии возведенным в квадрат. Или: если все варианты умножить на число а, дисперсия увеличиться в раз.

— это свойство носит название свойства минимальности дисперсии от средней. Дисперсия от средней меньше, чем средний квадрат отклонения от любого числа на .

Использование свойств дисперсии позволяет упрощать ее расчеты, особенно в тех случаях, когда вариационный ряд составляет арифметическую прогрессию или имеет равные интервалы. В этих случаях сначала находят дисперсию от условного нуля, а затем используют 4-е свойство дисперсии, переходят к дисперсии от средней.