Теоремы сложения и умножения вероятностей

Варианты 1-10 (N – номер варианта)

В урне N белых и (25 – N) черных шаров. Из урны последовательно достают два шара. Найти вероятность того, что:

1) шары будут разных цветов, если шары возвращают в урну;

2) шары будут одинакового цвета, если шары не возвращают в урну;

3) хотя бы один шар будет белым, если шары не возвращают в урну.

Варианты 11-20 (N – номер варианта)

В урне (N – 6) белых и (31 – N) черных шаров. Из урны последовательно достают все шары. Найти вероятность того, что

1) третьим по порядку будет вынут белый шар;

2) из первых трех шаров хотя бы один будет белым шаром.

Варианты 21-30 (N – номер варианта)

В урне (N – 16) белых и 5 черных шаров и (36 – N) красных шаров. Три из них вынимаются наугад. Найти вероятность того, что по крайней мере два из них будут разноцветными при условии: а) шары возвращаются в урну; б) шары не возвращаются в урну.

Формула полной вероятности. Формула Байеса

Варианты 1-10 (N – номер варианта)

Имеются три одинаковые с виду урны. В первой N белых шаров и
(25 – N) черных шаров; во второй урне (20 – N) белых и (N + 5) черных; в третьей только белые шары. Из наугад выбранной урны достают один шар. Какова вероятность, что этот шар белый?

Варианты 11-20 (N – номер варианта)

Имеются две урны: в первой (N – 5) белых шаров и (30 – N) черных шаров; во второй урне (21 – N) белых и (N + 4) черных. Из первой урны во вторую перекладывают, не глядя, один шар. После этого из второй урны достают один шар. Найти вероятность того, что этот шар будет белым.

Варианты 21-30 (N – номер варианта)

Имеются три урны: в первой (N – 15) белых шаров и (35 – N) черных шаров; во второй урне (40 – N) белых и (N – 20) черных; в третьей – N белых шаров (черных нет). Из наугад выбранной урны достали один шар. Этот шар оказался белым. Найти вероятность того, что шар достали из первой урны.

Формула Бернулли

Варианты 1-10 (N – номер варианта)

В семье 6 детей. Вероятность рождения мальчика равна 0,51. Найти вероятность того, что среди этих детей:

N = 1) один мальчик;

N = 2) более одного мальчика;

N = 3) два мальчика;

N = 4) более двух мальчиков;

N = 5) не более двух мальчиков;

N = 6) три мальчика;

N = 7) более трех мальчиков;

N = 8) не более трех мальчиков;

N = 9) четыре мальчика;

N = 10) не более четырех мальчиков.

Варианты 11-20 (N – номер варианта)

Отрезок АВ разделен точкой С в отношении 3:1. На этот отрезок наудачу брошено шесть точек. Предполагается, что вероятность попадания точки на отрезок пропорциональна длине отрезка и не зависит от его расположения. Найти вероятность того, что:

N = 11) одна точка окажется левее точки С;

N = 12) более одной точки окажется левее точки С;

N = 13) две точки окажется левее точки С;

N = 14) более двух точек окажется левее точки С;

N = 15) не более двух точек окажется левее точки С;

N = 16) три точки окажется левее точки С;

N = 17) более трех точек окажется левее точки С;

N = 18) не более трех точек окажется левее точки С;

N = 19) четыре точки окажется левее точки С;

N = 20) не более четырех точек окажется левее точки С.

Варианты 21-30 (N – номер варианта)

Монету бросают 6 раз. Найти вероятность того, что «герб» выпадет:

N = 21) один раз;

N = 22) более одного раза;

N = 23) два раза;

N = 24) более двух раз;

N = 25) не более двух раз;

N = 26) три раза;

N = 27) более трех раз;

N = 28) не более трех раз;

N = 29) четыре раза;

N = 30) не более четырех раз.

Локальная и интегральная теоремы Муавра-Лапласа. Формула Пуассона

Варианты 1-10 (N – номер варианта)

Найти вероятность того, что событие А наступит ровно (70 + N) раз в (250 + N) независимых испытаниях, если вероятность появления этого события в каждом испытании равна 0,2.

Варианты 11-20 (N – номер варианта)

Вероятность появления события А в каждом из (120 + N) независимых постоянна и равна 0,8. Найти вероятность того, что событие А появится не менее (70 + N) раз.

Варианты 21-30 (N – номер варианта)

Проведено (10 × N) независимых испытаний с вероятностью появления события А в каждом из них (N/1000). Найти вероятность того, что событие А появится точно 2 раза.

Дискретные случайные величины

В денежной лотерее выпущено 1000 билетов. Разыгрывается a₁ выигрышей на сумму p₁ тысяч рублей, a₂ выигрышей на сумму p₂ тысяч рублей и a₃ выигрышей на сумму p₃ тысяч рублей. Составить ряд распределения случайной величины Х – размер выигрыша по одному купленному билету; найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение случайной величины; записать функцию распределения и построить ее график.

Варианты (N – номер варианта)

N	a1	p1	a2	p2	a3	p3	N	a1	p1	a2	p2	a3	p3
1.							2.
3.							4.
5.							6.
7.							8.
9.							10.
11.							12.
13.							14.
15.							16.
17.							18.
19.							20.
21.							22.
23.							24.
25.							26.
27.							28.
29.							30.

Нормальный закон распределения

Пусть Х – нормально распределенная случайная величина с математическим ожиданием а и средним квадратическим отклонением s. Найдите вероятность того, что Х примет значение между a и b.

N	a	s	a	b	N	a	s	a	b	N	a	s	a	b
1.					2.					3.
4.					5.					6.
7.					8.					9.
10.					11.					12.
13.					14.					15.
16.					17.					18.
19.					20.					21.
22.					23.					24.
25.					26.					27.
28.					29.					30.

Вариационный ряд

Дана выборка значений некоторого непрерывного количественного признака Х, объем выборки n = 50 (см. значения по вариантам в таблице ниже).

Требуется:

1) Построить интервальный ряд, определив количество интервалов по формуле Стерджеса, рассчитать частоты, относительные частоты (частости), накопленные частоты, накопленные частости.

2) Построить гистограмму, кумуляту.

3) Найти средние величины: выборочное среднее, медиану, моду.

4) Найти показатели вариации: размах, среднее линейное отклонение, выборочную дисперсию, выборочное среднее квадратическое отклонение, исправленную дисперсию и исправленное среднее квадратическое отклонение, коэффициент вариации.

Вар	Вар 2	Вар 3	Вар 4	Вар 5	Вар 6	Вар 7	Вар 8	Вар 9	Вар 10	Вар 11	Вар 12	Вар 13	Вар 14	Вар 15
3,92	2,84	-1,09	4,38	1,76	10,53	5,65	9,72	6,08	12,47	10,17	10,23	13,49	12,25	14,04
3,32	0,69	2,81	1,52	1,68	1,77	6,81	11,68	7,02	12,13	9,95	12,25	12,01	14,41	19,12
-0,22	2,72	5,66	7,06	7,66	8,36	11,91	7,57	12,82	13,52	9,22	12,10	13,62	12,13	14,04
1,70	0,54	3,56	3,70	7,49	7,18	4,42	6,28	7,73	13,74	10,40	10,40	14,12	13,34	14,93
1,37	6,54	4,78	4,69	4,63	6,20	7,50	6,41	11,11	10,12	9,70	12,22	14,35	14,21	14,70
-1,19	1,06	2,76	3,43	4,06	6,75	6,68	7,50	7,95	14,09	11,76	9,89	9,90	12,27	15,94
0,54	1,77	4,43	2,63	6,51	5,59	3,56	8,91	12,89	8,09	12,16	12,24	11,94	16,92	15,64
4,56	1,49	4,31	3,62	5,92	2,35	10,46	5,69	8,47	10,90	10,45	10,48	11,66	14,52	14,30
3,41	3,69	4,60	5,71	5,89	4,55	5,49	5,43	11,08	8,27	10,31	12,24	12,28	14,47	13,56
2,50	2,05	-0,26	6,66	5,18	5,77	5,71	7,08	9,73	8,79	6,96	8,39	14,14	11,81	14,75
0,61	0,83	3,00	3,66	1,51	10,96	7,15	7,28	8,18	9,68	9,05	9,93	12,09	15,68	15,19
-0,92	4,43	3,76	2,06	6,85	4,92	6,81	5,98	11,63	8,92	10,28	13,01	14,91	16,86	17,99
0,74	-3,05	3,45	1,33	4,04	6,37	6,05	7,75	6,44	10,10	11,24	8,67	14,35	15,02	16,40
2,47	0,60	3,15	3,08	5,73	8,39	7,73	9,84	10,37	9,56	9,52	12,49	15,51	8,29	16,67
2,08	6,43	1,15	7,80	6,60	9,10	11,38	8,35	11,16	10,54	9,41	14,66	13,54	14,35	18,76
1,41	0,58	-1,15	3,52	7,23	0,75	7,05	7,40	8,96	7,86	10,19	10,38	16,04	15,99	15,35
-0,28	6,20	-0,99	2,62	7,43	1,73	5,51	7,03	10,58	9,98	12,23	13,52	12,07	12,99	18,45
2,01	4,13	1,79	7,37	2,65	4,07	9,28	6,72	10,07	7,73	12,13	12,83	11,68	18,42	12,66
0,02	2,55	4,14	4,94	7,09	4,57	2,91	5,89	12,53	12,47	10,46	13,35	10,10	13,79	14,87
-0,60	3,02	2,39	5,74	8,19	7,14	6,37	11,49	8,74	12,76	12,16	10,55	13,48	15,35	17,55
-0,23	2,12	1,17	3,55	5,37	9,23	5,85	8,96	10,73	10,19	10,53	9,25	10,12	14,16	15,75
-0,24	4,99	3,27	3,71	2,94	6,27	2,99	9,66	13,11	8,05	11,48	11,66	10,11	13,37	14,69
3,96	-1,67	1,21	6,76	9,25	5,67	8,59	9,42	6,56	10,35	7,60	13,63	13,21	12,95	12,98
4,24	0,30	2,19	9,13	4,56	5,36	11,27	11,54	6,22	11,16	13,23	13,14	15,48	14,38	15,65
0,62	1,70	1,76	1,99	8,41	4,67	4,47	8,27	9,53	6,07	12,31	13,49	13,76	16,09	12,59
-0,17	2,48	0,75	2,94	5,02	7,01	7,42	6,90	9,72	11,59	14,87	9,59	11,75	13,96	12,84
2,30	3,14	3,78	-0,03	6,75	3,89	5,50	9,61	8,89	7,71	11,15	9,57	12,00	13,15	15,19
-1,26	1,62	1,25	5,85	2,51	9,38	8,39	10,63	8,25	11,37	9,10	14,29	12,06	13,94	15,53
1,43	-0,37	2,87	5,41	7,45	2,89	4,81	11,79	8,48	12,28	11,91	11,02	15,64	14,34	12,11
-2,44	5,94	4,74	4,80	1,91	6,28	7,08	6,93	7,62	8,26	9,89	11,31	14,16	13,95	16,73
1,83	4,51	0,54	2,21	7,18	8,60	3,33	11,83	7,78	10,68	10,03	16,39	14,41	13,64	13,57
3,88	0,47	1,41	3,68	4,35	2,15	6,41	10,14	8,93	9,03	10,50	12,61	10,24	13,43	14,48
6,06	3,63	3,53	2,07	-0,40	6,78	7,14	7,21	8,86	8,02	13,44	10,61	13,65	18,03	11,94
-2,27	2,01	3,66	-0,29	4,53	7,79	5,80	6,70	9,43	11,40	15,33	10,74	12,33	17,04	15,55
-3,20	1,40	3,17	3,27	4,80	6,74	8,14	7,68	9,83	10,69	8,17	12,62	14,41	18,11	17,44
0,59	1,48	3,92	1,73	5,25	5,63	5,56	8,13	10,91	8,72	16,94	11,94	9,87	12,96	12,96
1,88	4,04	4,73	4,25	7,64	3,33	11,08	9,68	10,04	9,19	8,49	16,81	11,99	16,07	19,11
4,62	-0,12	5,08	2,55	4,29	3,20	8,78	8,53	10,42	10,10	9,80	15,07	15,84	14,22	14,12
-0,63	1,63	3,41	3,50	6,21	6,57	7,98	5,07	9,93	9,07	11,15	14,72	10,68	13,05	13,38
2,70	0,48	4,95	4,19	1,41	6,86	8,17	6,62	10,51	10,58	9,84	11,94	12,99	13,07	11,43
0,69	4,41	0,78	5,84	5,46	6,48	8,62	9,84	12,01	7,21	11,35	15,18	13,52	12,13	17,60
1,57	0,91	2,24	4,28	7,25	8,80	4,75	10,11	9,64	11,71	10,02	11,94	13,66	9,11	15,18
0,06	3,09	6,96	1,44	5,13	9,49	8,54	9,75	4,97	8,80	7,54	10,71	15,90	16,01	15,54
1,41	2,50	5,66	2,48	5,59	4,75	6,46	6,70	13,37	9,71	8,67	13,59	11,34	12,87	10,61
3,93	4,58	1,66	0,96	2,34	4,23	8,04	4,93	8,71	8,52	8,95	7,62	12,89	15,55	17,05
-1,17	1,62	3,79	8,06	3,17	2,11	6,29	7,61	6,70	9,48	11,04	11,56	18,01	12,99	17,84
0,00	5,89	0,50	2,48	5,44	7,84	4,10	9,94	6,85	10,38	12,80	15,52	16,96	15,23	13,65
-0,56	0,68	2,57	1,65	3,24	6,73	3,59	6,40	10,25	10,88	8,66	12,69	11,87	15,92	13,85
-0,09	0,78	-0,04	2,69	7,67	6,73	7,97	7,89	4,43	3,92	14,67	12,05	13,20	15,70	15,60
5,10	0,29	1,08	5,10	5,87	5,96	10,40	6,77	9,36	8,19	9,98	9,72	15,28	13,58	14,45

Вар	Вар 17	Вар 18	Вар 19	Вар 20	Вар 21	Вар 22	Вар 23	Вар 24	Вар 25	Вар 26	Вар 27	Вар 28	Вар 29	Вар 30
1,35	3,73	4,89	4,44	6,49	2,88	3,09	2,12	15,30	5,95	13,01	12,75	14,08	16,80	14,73
-2,43	3,37	-0,41	3,01	7,61	6,83	7,28	5,59	12,76	6,12	13,26	11,23	11,02	15,16	13,65
4,61	5,10	1,89	9,32	12,68	9,24	6,55	9,74	10,70	10,13	10,65	12,06	16,74	16,34	15,72
2,08	2,25	5,45	4,59	8,85	1,74	4,89	13,34	6,32	10,78	11,90	10,38	9,14	13,48	11,29
-1,45	0,69	3,75	5,01	-1,15	5,45	4,77	8,21	10,29	12,07	11,71	9,16	16,93	11,91	14,63
2,91	1,95	6,59	-0,98	10,10	2,68	9,77	9,13	15,66	8,02	11,20	12,58	11,84	12,99	17,16
3,28	2,11	1,02	5,60	3,86	11,05	8,76	6,03	12,94	13,00	14,07	12,10	13,34	12,43	13,55
-0,67	5,69	7,99	4,68	7,46	6,46	6,57	10,53	9,09	9,82	15,58	16,73	13,20	10,16	11,74
3,73	-2,86	2,79	1,40	3,90	5,09	3,55	9,90	5,03	14,58	13,51	10,93	16,97	17,10	19,09
2,36	0,95	2,75	5,19	1,77	11,82	8,75	9,24	6,28	8,34	10,67	9,76	10,37	16,82	13,69
-0,50	2,43	-0,18	6,37	4,66	6,84	13,08	11,43	11,85	4,50	9,82	7,20	11,94	15,68	18,74
2,46	2,38	4,05	3,02	7,31	3,84	8,45	5,75	8,41	13,45	13,42	11,36	12,23	15,16	11,66
1,46	1,87	3,39	4,77	6,76	9,84	9,27	10,94	10,68	7,32	10,90	16,66	11,29	13,39	8,96
4,42	2,29	0,82	5,15	4,99	4,85	6,17	8,42	5,52	6,13	12,56	13,18	10,38	15,93	18,67
3,08	2,32	3,83	5,44	7,59	12,52	10,03	8,64	4,65	8,06	11,22	15,05	13,95	11,94	11,49
-0,77	0,78	3,97	3,26	1,52	7,36	4,67	12,80	5,09	8,27	5,39	9,48	15,70	16,16	11,20
3,79	-3,26	2,34	1,46	4,78	7,19	6,89	-0,06	9,98	10,88	14,53	7,21	12,33	12,25	11,12
0,90	2,40	0,70	1,33	10,70	6,70	4,88	7,68	4,37	6,98	13,13	7,70	14,48	13,94	18,64
-1,72	-5,55	4,85	7,93	-0,93	6,62	8,07	8,51	10,48	6,90	14,08	13,76	12,59	11,19	18,90
3,37	3,86	3,64	6,22	1,74	5,32	13,40	6,09	8,81	6,11	14,00	14,22	13,55	17,61	10,29
-1,83	2,83	5,83	3,25	6,38	5,32	4,68	6,39	7,13	10,99	9,21	15,06	4,44	16,89	14,39
-2,53	1,13	1,74	3,65	7,67	8,66	7,09	10,02	8,87	14,73	12,71	16,04	15,10	11,29	10,62
0,00	2,81	4,17	-0,25	4,68	4,68	8,56	7,81	8,54	11,52	12,64	11,66	12,58	16,19	17,20
1,62	1,83	-4,04	4,06	9,87	4,70	5,11	6,26	5,28	10,85	12,25	10,12	15,23	19,56	15,96
4,13	-0,36	-2,37	7,02	10,46	11,49	9,14	9,61	13,92	6,47	14,74	5,98	12,12	13,40	21,74
0,58	2,59	-0,35	7,34	6,38	7,70	6,63	3,52	0,60	16,41	13,24	8,81	6,45	15,23	13,46
1,71	1,03	1,96	4,01	-0,01	4,48	0,87	4,21	6,83	7,49	9,85	9,86	12,82	12,93	9,41
0,71	-4,42	2,79	4,72	5,21	2,89	5,92	2,49	8,88	11,57	12,13	9,17	10,90	17,77	16,27
-2,70	1,82	0,15	3,82	4,95	9,56	9,91	7,04	3,54	10,13	7,64	11,57	11,91	11,53	13,38
-0,20	9,44	0,46	3,25	3,60	0,99	7,37	9,86	9,53	8,61	12,24	13,84	14,30	14,10	14,18
3,73	-2,43	4,20	2,17	3,68	5,98	8,24	9,48	10,15	4,93	9,83	8,24	13,69	13,62	19,08
-1,57	1,97	2,43	1,28	3,74	7,73	1,47	9,65	5,48	8,02	9,57	9,14	11,53	17,06	10,06
-2,40	-1,37	7,59	-1,82	2,50	7,09	10,15	8,42	11,30	10,87	8,85	9,64	7,59	11,33	15,79
-1,04	0,87	4,71	6,91	4,78	7,85	10,90	3,29	9,10	11,34	12,63	11,40	13,90	15,04	13,95
-0,47	-0,44	3,67	5,30	11,10	6,22	9,11	8,92	13,12	8,40	16,88	8,04	16,24	11,35	14,09
3,67	5,21	2,00	-0,72	3,36	5,90	2,04	9,03	6,30	13,79	11,36	14,37	17,33	13,13	13,14
4,03	1,44	0,99	5,78	-1,65	5,30	6,78	6,23	9,56	10,42	16,23	10,86	13,60	9,15	17,57
3,69	-0,39	0,23	1,43	8,23	3,59	4,86	7,42	8,59	5,64	5,64	16,05	16,52	12,43	9,74
-1,25	3,97	2,63	9,13	7,73	7,99	7,95	11,17	7,55	14,33	9,06	11,31	10,95	11,90	7,27
6,86	5,38	4,16	7,66	4,06	9,50	7,40	5,04	14,05	17,09	11,53	5,42	14,42	14,55	20,80
0,38	3,01	8,62	5,58	1,44	0,78	7,34	6,54	10,75	14,22	8,28	12,11	10,81	21,39	13,71
1,87	2,22	5,90	1,31	10,86	0,90	7,73	8,12	9,60	8,21	13,31	13,89	9,21	12,85	14,07
-1,83	9,21	3,37	1,86	6,42	6,54	9,18	10,61	8,00	11,80	16,49	11,09	10,01	12,87	15,75
0,05	2,21	4,39	2,14	6,33	9,13	7,68	4,51	12,34	10,01	7,45	12,63	15,47	17,16	12,33
2,33	1,82	1,97	9,97	-1,18	6,10	8,71	7,60	8,12	8,21	6,98	15,61	13,46	10,71	12,87
6,65	1,94	6,39	7,14	5,48	4,17	4,98	9,20	8,81	11,49	12,63	14,47	12,86	13,99	14,47
-0,36	4,22	5,40	4,27	0,09	6,16	5,40	-1,16	10,91	10,87	9,61	11,96	16,06	14,51	19,73
1,49	3,69	5,88	0,15	0,76	5,61	7,25	16,75	8,72	11,72	10,28	18,13	13,11	8,15	13,11
-1,14	4,27	3,15	3,42	4,91	5,20	4,74	8,60	12,96	6,67	14,58	13,34	11,44	16,31	18,40
1,87	4,03	6,49	2,64	4,26	6,61	10,21	8,81	10,88	6,92	8,41	16,56	15,85	12,29	13,96

Список литературы

1. Вентцель Е.С. Теория вероятностей. – М.: Наука, 1998. – 576 с.

2. Вентцель Е.С., Овчаров Л.А. Теория вероятностей. Задачи и упражнения. – М., Наука, 1969. – 368 с.

3. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике. – М.: Высшая школа, 2004. - 405 с.

4. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. – М.: Высшая школа, 2003. - 479 с.

5. Гнеденко Б.В. Курс теории вероятностей. – М.: Едиториал УРСС, 2005. - 448 с.

6. Елисеева И.И. Теория статистики с основами теории вероятностей. – М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2001. - 446 с.

7. Зарубин В.С., Крищенко А.П. Теория вероятностей. – М.: Изд-во МГТУ им. Баумана, 2004. - 456 с.

8. Колемаев В.А., Калинина В.Н., Соловьев В.И. и др. Теория вероятностей в примерах и задачах / Учебное пособие. – М., 2001. – 87 с.

9. Кремер Н.Ш. Теория вероятностей и математическая статистика. – М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2004. - 573 с.

10. Письменный Д. Конспект лекций по теории вероятностей и математической статистике. – М.: Айрис пресс, 2004 - 256 с.

Приложение 1

Таблица значений функции

0,0	0,3989
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0	0,2420
1,1
1,2
1,3
1,4
1,5
1,6
1,7
1,8
1,9
2,0	0,0540
2,1
2,2
2,3
2,4
2,5
2,6
2,7
2,8
2,9
3,0	0,0044
3,1
3,2
3,3
3,4
3,5
3,6
3,7
3,8
3,9

Приложение 2

Таблица значений функции