Тема 4. Нелинейные модели регрессии и их линеаризация

Довольно часто соотношения между социально-экономическими явлениями и процессами приходится описывать нелинейными функциями. Например, производственные функции (зависимость между объемом производства и основными факторами производства) или функции спроса (зависимость между спросом на товары или услуги и их ценами и доходом).

Следует различать модели, нелинейные по параметрам, и модели, нелинейные по переменным.

Для оценки параметров нелинейных моделей существует два основных подхода:

1. Первый подход основан на линеаризации модели: преобразованием исходных переменных и введением новых, нелинейную модель можно свести к линейной, для оценки параметров которой используется метод наименьших квадратов.

2. Если подобрать соответствующее линеаризующее преобразование не удается, то применяются методы нелинейной оптимизации на основе исходных переменных.

Если модель нелинейна по переменным, то используется первый подход, т.е. вводятся новые переменные, и модель сводится к линейной:

Переходим к новым переменным и получаем линейное уравнение:

Более сложной проблемой является нелинейность по оцениваемым параметрам. В ряде случаев путем подходящих преобразований эти модели удается привести к линейному виду. Рассмотрим следующие модели, нелинейные по оцениваемым параметрам:

∙ степенная (мультипликативная) -

Степенная модель может быть преобразована к линейной путем логарифмирования обеих частей уравнения:

Замена переменных: В новых переменных модель запишется следующим образом:

Степенные модели получили широкое распространение в экономическом моделировании ввиду простой интерпретации параметров, которые представляют собой частные коэффициенты эластичности результативного признака по соответствующим факторным признакам.

∙ экспонента -

Экспоненциальная модель линеаризуется аналогично:

Переходя к новым переменным , получаем линейную регрессионную модель:

∙ гипербола - .

Гиперболическая модель линеаризуется непосредственно заменой переменной :

Эти функции используются при построении кривых Энгеля, которые описывают зависимость спроса на определенный вид товаров или услуг от уровня доходов потребителей или от цены товара.

∙ логарифмическая модель:

При выборе формы уравнения регрессии важно помнить, что чем сложнее функция, тем менее интерпретируемы ее параметры.

В качестве примера использования линеаризующего преобразования регрессии рассмотрим производственную функцию Кобба-Дугласа:

где Y – объем производства, K – затраты капитала, L – затраты труда.

Путем логарифмирования обеих частей данную степенную модель можно свести к линейной:

Переходя к новым переменным получаем линейную регрессионную модель:

Эластичность выпуска продукции.

Показатели α и β являются коэффициентами частной эластичности объема производства Y соответственно по затратам капитала K и труда L. Это означает, что с увеличением только затрат капитала (труда) на 1% объем производства возрастает на α% (β%):

Эффект от масштаба производства.

Если α и β в сумме превышают единицу, то говорят, что функция имеет возрастающий эффект от масштаба производства (это означает, что если K и L увеличиваются в некоторой пропорции, то Y растет в большей пропорции). Если их сумма равна единице, то это говорит о постоянном эффекте от масштаба производства. Если их сумма меньше единицы, то имеет место убывающий эффект от масштаба производства. Например, K и L увеличиваются в 2 раза. Найдем новый уровень выпуска (Y*):

Если α+β = 1,2, то 2 ^α+β =2,30, а Y увеличивается больше, чем в 2 раза.

Если α+β = 1, то 2 ^α+β =2, и Y увеличивается также в 2 раза.

Если α+β = 0,8, то 2 ^α+β =1,74, а Y увеличивается меньше, чем в 2 раза.

Первоначально Кобб и Дуглас представляли функцию в виде , т.е. предполагали постоянную отдачу от масштаба производства. Впоследствии это допущение было ослаблено.

Если в модели α+β = 1, то функцию Кобба-Дугласа представляют в виде или .

Таким образом, переходят к зависимости производительности труда (Y/L) от его капиталовооруженности (K/L). Логарифмируя обе части уравнения, приводим его к линейному виду:

.

Функция Кобба-Дугласа с учетом технического прогресса имеет вид:

,

где t – время, параметр θ – темп прироста объема производства благодаря техническому прогрессу.