Оценка статистической значимости параметров уравнения регрессии

С помощью МНК мы получили лишь оценки параметров уравнения регрессии, которые характерны для конкретного статистического наблюдения (конкретного набора значений x и y). Если оценку параметров произвести по данным другого статистического наблюдения (другому набору значений x и y), то получим другие численные значения Оценка статистической значимости параметров уравнения регрессии - student2.ru , Оценка статистической значимости параметров уравнения регрессии - student2.ru . Мы предполагаем, что все эти наборы значений x и y извлечены из одной и той же генеральной совокупности. Чтобы проверить, значимы ли параметры, т.е. значимо ли они отличаются от нуля для генеральной совокупности используют статистические методы проверки гипотез.

В качестве основной (нулевой) гипотезы выдвигают гипотезу о незначимом отличии от нуля параметра или статистической характеристики в генеральной совокупности. Наряду с основной (проверяемой) гипотезой выдвигают альтернативную (конкурирующую) гипотезу о неравенстве нулю параметра или статистической характеристики в генеральной совокупности. В случае если основная гипотеза окажется неверной, мы принимаем альтернативную. Для проверки этой гипотезы используется t-критерий Стьюдента.

Найденное по данным наблюдений значение t-критерия (его еще называют наблюдаемым или фактическим) сравнивается с табличным (критическим) значением, определяемым по таблицам распределения Стьюдента (которые обычно приводятся в конце учебников и практикумов по статистике или эконометрике). Табличное значение определяется в зависимости от уровня значимости (a) и числа степеней свободы, которое в случае линейной парной регрессии равно (n-2), n-число наблюдений.

Если фактическое значение t-критерия больше табличного (по модулю), то основную гипотезу отвергают и считают, что с вероятностью (1-a) параметр или статистическая характеристика в генеральной совокупности значимо отличается от нуля.

Если фактическое значение t-критерия меньше табличного (по модулю), то нет оснований отвергать основную гипотезу, т.е. параметр или статистическая характеристика в генеральной совокупности незначимо отличается от нуля при уровне значимости a.

Для параметра b критерий проверки имеет вид:

Оценка статистической значимости параметров уравнения регрессии - student2.ru ,

где Оценка статистической значимости параметров уравнения регрессии - student2.ru - оценка коэффициента регрессии, полученная по наблюдаемым данным;

Оценка статистической значимости параметров уравнения регрессии - student2.ru – стандартная ошибка коэффициента регрессии.

Для линейного парного уравнения регрессии стандартная ошибка коэффициента вычисляется по формуле:

Оценка статистической значимости параметров уравнения регрессии - student2.ru .

Числитель в этой формуле может быть рассчитан через коэффициент детерминации и общую дисперсию признака-результата: Оценка статистической значимости параметров уравнения регрессии - student2.ru .

Для параметра a критерий проверки гипотезы о незначимом отличии его от нуля имеет вид:

Оценка статистической значимости параметров уравнения регрессии - student2.ru ,

где Оценка статистической значимости параметров уравнения регрессии - student2.ru - оценка параметра регрессии, полученная по наблюдаемым данным;

Оценка статистической значимости параметров уравнения регрессии - student2.ru – стандартная ошибка параметра a.

Для линейного парного уравнения регрессии:

Оценка статистической значимости параметров уравнения регрессии - student2.ru .

Для проверки гипотезы о незначимом отличии от нуля коэффициента линейной парной корреляции в генеральной совокупности используют следующий критерий:

Оценка статистической значимости параметров уравнения регрессии - student2.ru , где ryx - оценка коэффициента корреляции, полученная по наблюдаемым данным; mr – стандартная ошибка коэффициента корреляции ryx.

Для линейного парного уравнения регрессии:

Оценка статистической значимости параметров уравнения регрессии - student2.ru .

В парной линейной регрессии между наблюдаемыми значениями критериев существует взаимосвязь: t (b=0)=t(r=0).

Прогноз ожидаемого значения результативного признака y по линейному парному уравнению регрессии.

Пусть требуется оценить значение признака-результата для заданного значения признака-фактора (хр). Прогнозируемое значение признака-результата c доверительной вероятностью равной (1-a) принадлежит интервалу прогноза:

( Оценка статистической значимости параметров уравнения регрессии - student2.ru -t·mp; Оценка статистической значимости параметров уравнения регрессии - student2.ru +t·mp),

где Оценка статистической значимости параметров уравнения регрессии - student2.ru - точечный прогноз;

t – коэффициент доверия, определяемый по таблицам распределения Стьюдента в зависимости от уровня значимости a и числа степеней свободы (n-2);

mp- средняя ошибка прогноза.

Точечный прогноз рассчитывается по линейному уравнению регрессии, как: Оценка статистической значимости параметров уравнения регрессии - student2.ru .

Средняя ошибка прогноза определяется по формуле:

Оценка статистической значимости параметров уравнения регрессии - student2.ru .

Задание №1

На основе данных, приведенных в Приложении 1 и соответствующих Вашему варианту (таблица 2), требуется:

1. Рассчитать коэффициент линейной парной корреляции и построить уравнение линейной парной регрессии одного признака от другого. Один из признаков, соответствующих Вашему варианту, будет играть роль факторного (х), другой – результативного (y). Причинно-следственные связи между признаками установить самим на основе экономического анализа. Пояснить смысл параметров уравнения.

2. Определить теоретический коэффициент детерминации и остаточную (необъясненную уравнением регрессии) дисперсию. Сделать вывод.

3. Оценить статистическую значимость уравнения регрессии в целом на пятипроцентном уровне с помощью F-критерия Фишера. Сделать вывод.

4. Выполнить прогноз ожидаемого значения признака-результата y при прогнозном значении признака-фактора х, составляющим 105% от среднего уровня х. Оценить точность прогноза, рассчитав ошибку прогноза и его доверительный интервал с вероятностью 0,95.

Таблица 2

Вариант Номер начального наблюдения Номер конечного наблюдения Номер признаков из прил. 1 Вариант Номер начального наблюдения Номер конечного наблюдения Номер признаков из прил. 1
1,2 1,3
3,4 4,5
1,3 1,4
4,5 2,5
1,4 1,5
2,5 2,3
1,5 1,2
2,3 3,4
1,2 1,3
3,4 4,5
1,3 1,4

Продолжение табл. 2

4,5 2,5
1,4 1,5
2,5 2,3
1,5 1,2
2,3 3,4
1,2 1,3
3,4 4,5
1,3 1,4
4,5 2,5
1,4 1,5
2,5 2,3
1,5 1,2
2,3 3,4
1,2 1,3
3,4 4,5
1,3 1,4
4,5 2,5
1,4 1,5
2,5 2,3
1,5 1,2
2,3 3,4
1,2 1,3
3,4 4,5
1,3 1,4
4,5 2,5
1,4 1,5
2,5 2,3
1,5 1,2
2,3 3,4
1,2 1,3
3,4 4,5
1,3 1,4
4,5 2,5
1,4 1,5
2,5 2,3
1,5 1,2
2,3 3,4

Окончание табл. 2

Наши рекомендации