Доверительные интервалы

Выше рассмотренная оценка параметра являлась точечной (одним числом). При выборке большого объема точечная оценка параметра близка к самому параметру. Однако, если число наблюдений мало, то возможно значительное расхождение между и t.

Чтобы получить представление о точности и надежности оценки параметра используют интервальную оценку параметра. Параметр t приближают некоторым интервалом ( ₁; ₂).

Интервальной оценкой параметра t называется числовой интервал ( ₁; ₂), который с заданной вероятностью γ накрывает неизвестное значение параметра t. Такой интервал ( ₁; ₂) называется доверительным интервалом, вероятность γ – доверительной вероятностью.

Заметим, что ₁ и ₂ находятся по выборочным данным, т.е. случайные величины, а t – некоторое определенное, хотя и неизвестное нам, число. Рассмотрим вопрос о построении доверительного интервала ( ₁; ₂) для непрерывной случайной величины Х ,имеющей нормальное распределение. Именно эта задача имеет большое практическое значение, особенно при обработке результатов измерений. Будем искать доверительный интервал для математического ожидания, когда σ известно, и когда σ неизвестно. Напомним, что плотность распределения вероятностей в случае

Х N(m; σ ): f(х) = , где m – математическое ожидание, σ – среднее квадратическое отклонение.

Доверительный интервал для m при известном σ.

Пусть непрерывная случайная величина Х имеет нормальное распределение Х N(m; σ ). Случайная величина (х) = также будет подчинена нормальному закону распределения (результаты опытов х₁, х₂, . . . , х_n – независимые случайные величины, распределенные нормально с параметрами m и σ).

При этом М( (х)) = м(х) = m,

D( (x)) = = n D(x) = => (x)) =

Тогда параметры распределения случайной величины (х) : (m; ) .

Найдем такое , чтобы P( -δ < m < +δ) = γ. Воспользуемся формулой для нахождения вероятности попадания в интервал нормально распределенной случайной величины: P(׀x-m׀ < ε) = 2Ф , где Ф(х) – функция Лапласа. Тогда: P( -δ < m < +δ) = P(׀m- ׀< δ) = P(׀ – m׀ < δ) = 2Ф ( ) = 2Ф( ) = γ.

Обозначим t = , находится t по таблицам значений функции Лапласа из условия Ф(t) = . Тогда интервал ( - δ; + δ) или ( - ; + ) с заданной вероятностью γ накрывает неизвестное значение m. Таким образом, доверительным интервалом для m является интервал ( - ; + ), где t находится из условия Ф(t) = .

Пример. Произведено 5 независимых испытаний над непрерывной случайной величиной Х , распределенной нормально с σ =2:

i
xi	-25		-20

Найти оценку для М(х) и построить для нее 90% доверительный интервал. Решение: (х) = (-25+34-20+10+21) = 4 γ = 0,9 => Ф(t) = 0,45 => t = 1,65 = ≈ 1,47 => 90% доверительным интервалом будет: (4 - 1,47; 4 + 1,47) или (2,53; 5,47).

Доверительный интервал для m при неизвестном σ.

Имеем два неизвестных m и σ. Можно показать, что в этом случае доверительным интервалом для m будет интервал ( - ; + ), где - выборочное среднее, n – объем выборки, - исправленное среднее квадратическое отклонение. = , t – находится по таблицам значений функции Стьюдента в зависимости от γ и n ( распределение Стьюдента при n →∞ приближается к нормальному). При достаточно больших n (практически при n>20) t можно искать из условия Ф(t) = .

Пример. Найти доверительный интервал для математического ожидания нормально распределенной случайной величины Х, для которой по выборке объема n = 25 найдены =2,4 и =4, если надежность γ = 0,95. Решение. I способ: t = t(0,95; 25) ≈ 2,064 (по таблицам значений функции Стьюдента). - = 2,4 – ≈ 1,57; + ≈ 3,23 (1,57; 3,23) – доверительный интервал.

II способ: Ф(t) = 0,475 => t ≈ 1,96 => (1,62; 3,18) – доверительный интервал.

Таблица значений функции t = t (γ; n)

γ n	0,95	0,99	0,999
	2,78	4,60	8,61
	2,57	4,03	6,86
	2,45	3,71	5,96
	2,37	3,50	5,41
	2,31	3,36	5,04
	2,26	3,25	4,78
	2,23	3,17	4,59
	2,20	3,11	4,44
	2,18	3,06	4,32
	2,16	3,01	4,22
	2,15	2,98	4,14
	2,13	2,95	4,07
	2,12	2,92	4,02
	2,11	2,90	3,97
	2,10	2,88	3,92
	2,093	2,361	3,883
	2,064	2,797	3,745
	2,045	2,756	3,659
	2,032	2,720	3,600
	2,023	2,708	3,558
	2,016	2,692	3,527
	2,009	2,679	3,502
	2,001	2,662	3,464
	1,996	2,649	3,439
	1,001	2,640	3,418
	1,987	2,633	3,403
	1,984	2,627	3,392