Функции распределения частиц. Функция Ферми-Дирака

Функцией распределения в статистической теории принято называть функцию, которая в условиях термодинамического равновесия при заданной температуре Т пропорциональна вероятности того, что некоторая частица занимает определенный энергетический уровень Е.

Вид функции распределения зависит от возможного количества частиц в данном разрешенном энергетическом состоянии и от того, являются ли данные частицы различимыми. Различимость – это свойство частиц изменять физические характеристики твердого тела при перестановке частиц местами.

В классической физике частицы считаются различимыми и могут неограниченно заполнять одно и то же энергетическое состояние. Распределение частиц газа по энергиям описывается с помощью функции распределения Максвелла - Больцмана:

; (2.32)

где μ – химический потенциал, выражающий изменение свободной энергии системы при изменении числа частиц в системе на одну при постоянной температуре и постоянном объеме системы: (фактически – работа выхода); С – постоянная, которая находится из условия, что сумма частиц на всех уровнях системы равна некоторому заданному и неизменному числу N. Название химический потенциал, а не какой–либо другой, подчеркивает лишь то обстоятельство, что рассматриваемые частицы способны двигаться по законам механики.

В отличие от классических представлений в квантовой механике микрочастицы являются неразличимыми. Микрочастицы подразделяются на 2 группы: бозоны и фермионы. Бозоны могут неограниченно заполнять одно и то же энергетическое состояние, причем тем легче, чем больше их в этом состоянии находится. Фермионы подчиняются запрету Паули. Это значит, что одно квантовое состояние может быть занято не более чем одним фермионом.

К бозонам относятся: фотоны, фононы, пионы, а к фермионам - электроны, протоны, нейтроны.

Бозоны подчиняются статистике Бозе-Эйнштейна

(2.33)

В условиях равновесия бозоны имеют минимум свободной энергии, поэтому химический потенциал бозонов равен нулю. Отсюда следует

(2.33А)

Распределение фермионов по энергетическим уровням описывается с помощью функции Ферми-Дирака:

(2.34)

где k – постоянная Больцмана, Т – температура, E_F – энергия Ферми или электрохимический потенциал, т.е. работа, которую необходимо затратить для изменения числа частиц на одну единицу. В случае, когда частицами, составляющими статистическую систему, являются электроны, которые помимо массы обладают еще и электрическим зарядом, изменение энергии возможно за счет изменения заряда. Электрохимический потенциал, который представляет собой алгебраическую сумму химического и электростатического потенциалов, то есть равен (E_F=μ-ej), где j - электростатический потенциал, и отражает это. Обычно его отождествляют с уровнем (энергией) Ферми. Можно показать, что в условиях термодинамического равновесия энергия Ферми оказывается постоянной в любой системе контактирующих тел. Поэтому необходимым условием равновесия системы можно считать постоянство уровня Ферми.

Характерно, что вид функции Ферми-Дирака не зависит от свойств системы, а зависит только от температуры. Конкретные свойства системы отражаются лишь на положении уровня Ферми. Графическое изображение функции распределения Ферми-Дирака представлено на рис. 2.4.

Основные свойства функции Ферми-Дирака.

1. , т.е. уровень Ферми занят с вероятностью 0,5 (всегда!).

То есть уровень Ферми есть энергетический уровень, вероятность заполнения которого при температуре, отличной от абсолютного нуля равна 0.5.

1. К. Тогда: для и для ,

т.е. при температуре К все разрешенные состояния ниже уровня Ферми заняты, а все выше него – полностью свободны. Это отличается от случая классических частиц, когда при К все электроны имеют .

Следовательно, энергия Ферми есть максимально возможная энергия электронов в металле при температуре абсолютного нуля.

1. Если энергия электронов значительно выше энергии Ферми, т.е. , тогда

. (2.35)

Формула (2.35) представляет собой классическое распределение Максвелла-Больцмана. Таким образом, функция Ферми-Дирака при больших энергиях переходит в распределение Максвелла-Больцмана.

1. Если энергия электрона ниже Е_F настолько, что , тогда:

, (2.36)

т.е. в области энергий, существенно меньших , разрешенные состояния заняты с вероятностью, близкой к 1.

5. В области функция изменяется очень быстро от значений, близких к 1, до нуля. Скорость изменения зависит от , и для температуры абсолютного нуля равна бесконечности (рис.2.4 в).

Функция распределения Ферми-Дирака (2.34) характеризует вероятность заполнения данного состояния электроном. Вероятность того, что в состоянии с энергией Е электрон отсутствует, т.е. оно занято дыркой, будет равна:

(2.37)

Следовательно, функция распределения для дырок аналогична функции распределения для электронов, если отсчитывать энергию дырок от уровня Ферми в противоположную сторону по сравнению с направлением отсчета энергии для электрона.

(а)	(б)
(в)
Рис. 2.4. Распределение Ферми-Дирака.

При Т>0 часть электронов за счет теплового движения смогут перейти в состояние с E>E_F. Число частиц, перешедших на более высокие уровни, равно количеству образовавшихся свободных состояний в области Е<E_F. Это означает, что заштрихованные на рис. 2.4 (б) площади равны. Кроме этого, нетрудно заметить, что величина F(E) заметно отличается от 1 или 0 лишь в пределах нескольких (~3) вблизи значения E=E_F (рис.2.4 в). Из рисунка видно, что функция Ферми-Дирака испытывает сильное изменение от 0,953 до 0,047 при изменении в интервале от –2kT до +2kT. В дополнение хорошо видно, что интервал энергии, определяющий резкое изменение F(E,Т), зависит от температуры: при Т ® 0 он стремится к нулю.

Полупроводники, у которых распределение свободных носителей заряда по энергетическим состояниям описывается функцией Ферми-Дирака, называются вырожденными. Вырожденными являются такие полупроводники, у которых уровень Ферми расположен вблизи края запрещенной зоны (как правило, на расстоянии менее нескольких kT).

Для электронов, находящихся в состояниях с энергией E-E_F>> , выражение для F(E) принимает вид:

, (2.38)

то есть совпадает с функцией распределения Максвелла-Больцмана для частиц, подчиняющихся классическим законам.

Если распределение носителей заряда по энергиям в полупроводнике подчиняются статистике Больцмана, то полупроводник называют невырожденными.

Невырожденными являются такие полупроводники, у которых уровень Ферми расположен внутри запрещенной зоны на расстоянии более нескольких kT от границы с разрешенной зоной.