ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА №18

Тема:Решение задач на нахождение по таблично заданной функции (при п=2), заданной аналитически.

Цель работы:Закрепить и систематизировать знания по теме «Основные численные методы».

Задание: Составить таблицу конечных разностей функций, заданных аналитически, от начального значения х₀ до конечного х₇, приняв шаг равным h:

1.	3.	4.
2.	3.	5.
3.	7.	6.

Задание: Построить таблицу разностей функции , заданной таблично:

7.	x y 7,5 -3,5 -6 -2,5 34,5	10.	x   y
8.	x y -3,9 -0,2 6,7 17,4 32,5 52,6 78,3	11.	x y -3 -6 -3
9.	x y -3,9 -5,2 -3,3 2,4 12,5 27,6 48,3	12.	x y

Задание: Найти значения первой и второй производных функции, заданной таблично, в точках x=a+b_n:

13.	x=2,4+0,05n x 2,4 2,6 2,8 3,0 3,2 3,4 y(x) 3,526 3,782 3,945 4,043 4,104 4,155 n=1
14.	x=4,5-0,06n x 3,6 3,8 4,0 4,2 4,4 4,6 y(x) 4,222 4,331 4,507 4,775 5,159 5,683 n=5
15.	x=1,6+0,08n x 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0 y(x) 10,517 10,193 9,807 8,387 8,977 8,637 n=2
16.	x=2,4+0,05n x 2,4 2,6 2,8 3,0 3,2 3,4 y(x) 3,526 3,782 3,945 4,043 4,104 4,155 n=3
17.	x=4,5-0,06n x 3,6 3,8 4,0 4,2 4,4 4,6 y(x) 4,222 4,331 4,507 4,775 5,159 5,683 n=7
18.	x=1,6+0,08n x 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0 y(x) 10,517 10,193 9,807 8,387 8,977 8,637 n=4

Задание: По табличным данным найти аналитическое выражение первой производной:

19.	x y
20.	x y -2
21.	x y -1,5 70,5 362,5 1018,5 2182,5
22.	x y 5,5 40,5 127,5 290,5 553,5
23.	x y
24.	x y

Задание: Вычислить значения первой и второй производной функции в точке , методом численного дифференцирования. Вычисления вести с четырьмя знаками после запятой:

25.	x y =1,5
26.	x y -2 =2,5
27.	x y -1,5 70,5 362,5 1018,5 2182,5 =1,25
28.	x y 5,5 40,5 127,5 290,5 553,5 =1,75
29.	x y =2,2
30.	x y =2,1

Пояснения к работе:

Необходимые формулы:

Задача численного дифференцирования состоит в приближенном вычислении производных функции f(x) по заданным в конечном числе точек значениям этой функции.

Один из универсальных способов построения формул численного дифференцирования состоит в том, что по значениям функции f(x) в некоторых узлахx₀ , x₁ , ... , x_N строят интерполяционный полином P_N(x) (обычно в форме Лагранжа) и приближенно полагают f ^(r)(x) ≈P^(r)N(x),

0 ≤ r ≤ N

В ряде случаев наряду с приближенным равенством удается (например, используя формулу Тейлора) получить точное равенство, содержащее остаточный член R (погрешность численного дифференцирования):

f ^(r) (x) = P^(r)_N(x) + R, 0 ≤ r ≤ N

Такие формулы называются формулами численного дифференцирования с остаточными членами. Степень, с которой входит величина (h_i=x_i - x_i-1) в остаточный член, называется порядком погрешности формулы численного дифференцирования. Формулы с отброшенными остаточными членами называются просто формулами численного дифференцирования.

Формулы численного дифференцирования с остаточными членами для первой (r=1) и второй (r=2) производных в узлах, расположенных с постоянным шагом h_i≡h > 0:

r=1, N=1 (два узла): f '(x₀ ) = (f₁ - f₀ )/h - hf ''(ξ)/2

f '(x₁ ) = (f₁ - f₀ )/h + hf ''(ξ)/2

r=1, N=2 (три узла): f '(x₀ ) = (-3f₀ + 4f₁ - f₂)/2h + h²f '''(ξ)/3

f '(x₁ ) = (f₂ - f₀)/2h - h²f '''(ξ)/6

f '(x₂ ) = (f₀ - 4f₁ + 3f₂)/2h + h²f '''(ξ)/3

r=2, N=2 (три узла): f ''(x₀ ) = (f₀ - 2f₁ + f₂ )/h₂ - hf '''(ξ)

f ''(x₁ ) = (f₀ - 2f₁ + f₂ )/h² - h²f ⁽⁴⁾ (ξ)/12

f ''(x₂ ) = (f₀ - 2f₁ + f₂ )/h² + hf '''(ξ)

r=2, N=3 (четыре узла): f ''(x₀ ) = (2f₀ - 5f₁ + 4f₂ - f₃ )/h² + 11h²f ⁽⁴⁾(ξ)/12

f ''(x₁ ) = (f₀ - 2f₁ + f₂ )/h² - h²f ⁽⁴⁾⁽ξ)/12

f ''(x₂ ) = (f₀ - 2f₁ + f₃ )/h² - h²f ⁽⁴⁾(ξ)/12

f ''(x₃ ) = (-f₀ + 4f₁ - 5f₂ + 2f₃ )/h² + 11h²f ⁽⁴⁾(ξ)/12

В приведенных формулах ξ есть некоторая точка (своя для каждой из формул) из интервала (x₀ , x_N). Остаточные члены этих формул находятся с помощью формулы Тейлора. При этом предполагается, что на отрезке [x₀ , x_N] у функции f(x) непрерывна производная, через которую выражается остаточный член. При четном N в среднем узле для четной производной порядок точности формулы на единицу больше, чем в остальных узлах. Поэтому рекомендуется по возможности использовать формулы численного дифференцирования с узлами, расположенными симметрично относительно той точки, в которой ищется производная.

Содержание отчета

7. Титульный лист в соответствии с СТП1.2-2005.

8. Цель работы

9. Задание

10. Выполненная практическая работа в соответствии с заданием

11. Ответы на контрольные вопросы

12. Вывод

Контрольные вопросы:

1. Запишите основные задачи численного дифференцирования.

2. Запишите формулы вычисления погрешности вычислений.

3. Запишите 1-ый интерполяционный многочлен Ньютона.

4. Запишите 2-ой интерполяционный многочлен Ньютона.

5. Запишите первую и вторую формулы Ньютона в узлах для вычисления производных на краях таблицы.