Использование нелинейных моделей в экономике

ЛЕКЦИЯ 6

Парная нелинейная регрессионная модель. Особенности нелинейного регрессионного моделирования в экономике. Описание основных нелинейных регрессионных моделей. Показатели качества для нелинейных уравнений регрессии: средняя ошибка аппроксимации, средний коэффициент эластичности, коэффициент детерминации.

Глава 6.
ПАРНАЯ НЕЛИНЕЙНАЯ РЕГРЕССИОННАЯ МОДЕЛЬ

§6.1. ОСОБЕННОСТИ НЕЛИНЕЙНОГО РЕГРЕССИОННОГО
МОДЕЛИРОВАНИЯ

Использование нелинейных моделей в экономике

Во многих практических случаях моделирование экономических зависимостей линейными уравнениями дает вполне удовлетворительный результат и может использоваться для анализа и прогнозирования. Однако в силу многообразия и сложности экономических процессов ограничится рассмотрением лишь линейных регрессионных моделей невозможно. Многие экономические зависимости не являются линейными по своей сути, и поэтому их моделирование линейными уравнениями регрессии, безусловно, не дает положительного результата. Например, при рассмотрении спроса Y на некоторый товар от цены X данного товара в ряде случаев можно ограничиться линейным уравнением регрессии: . Если же мы хотим проанализировать эластичность спроса по цене, приведенное уравнение не позволит этого осуществить. В этом случае целесообразно рассмотреть т.н. логарифмическую модель. При анализе издержек Y от объема выпуска X наиболее обоснованной является полиномиальная (точнее, кубическая) модель. При рассмотрении производственных функций линейная модель является нереалистичной. В этом случае обычно используют степенные модели. Например, широкую известность имеет производственная функция Кобба-Дугласа (здесь Y – объем выпуска, K и L – затраты капитала и труда соответственно). Достаточно широко применяются и многие другие модели, в частности обратная и экспоненциальная.

Построение и анализ нелинейных моделей имеют свою специфику.

6.1.2. Особенности использования МНК
в нелинейных моделях

Идея МНК основана на том, чтобы минимизировать сумму квадратов отклонений расчетных значений от эмпирических, т.е. нужно оценить параметры q функции f(x,q) таким образом, чтобы ошибки , точнее – их квадраты, по совокупности, были минимальны. Для этого нужно решить задачу минимизации

. (6.1)

Для решения этой задачи приравниваем нулю частные производные функции Q по каждому из параметров q_j, т.е.

.

В результате получается система алгебраических уравнений

, (6.2)

однако в отличие от линейной модели, это будет уже система нелинейных алгебраических уравнений. Решить аналитически такую систему уравнений, как правило, уже невозможно. Однако её можно решить численно. В наше время, век компьютеров, это уже не такая сложная задача.

Для численного решения этой задачи существует два пути. Во-первых, может быть осуществлена непосредственная минимизация функции Q(q) с помощью методов нелинейной оптимизации, позволяющих находить экстремумы выпуклых функций. Это, например, метод наискорейшего спуска, при использовании которого в некоторой исходной точке определяется антиградиент (направление наиболее быстрого убывания) функции Q. Далее находится минимум Q при движении в данном направлении, и в точке этого минимума снова определяется градиент. Процедура повторяется до тех пор, пока разница значений Q на двух последовательных шагах не окажется меньше заданной малой величины.

Другой путь состоит в решении системы нелинейных уравнений (6.2). Эта система уравнений может быть решена итерационными методами. Однако в общем случае решение такой системы не является более простым способом нахождения решения q, чем непосредственная оптимизация методом наискорейшего спуска.

Существуют методы оценивания нелинейной регрессии, сочетающие непосредственную оптимизацию, используя нахождение градиента, с разложением в функциональный ряд (ряд Тейлора) для последующей оценки линейной регрессии. Наиболее известен один из них – метод Маркуардта, сочетающий в себе достоинства каждого из двух используемых методов.

Недостаток методов нелинейной оптимизации состоит в том, что здесь затруднительно провести статистический анализ модели, т.е. оценить значимость коэффициентов регрессии, построить для них доверительные интервалы, оценить качество уравнения регрессии в целом, оценить точность прогноза, использовать критерии Стьюдента и Фишера и т.д. Кое-что из выше перечисленного численные методы позволяют проделать, однако полный статистический анализ модели, подобный анализу линейной модели, провести не удается. Поэтому для того чтобы можно было провести полный статистический анализ модели, её линеаризуют, если конечно это возможно.