Спецификация и оценивание МНК эконометрических моделей нелинейных по параметрам

В моделях, нелинейных по параметрам, например степенных или показательных, непосредственное применение МНК для их оценки невозможно, так как необходимым условием применимости МНК является линейность по коэффициентам уравнения регрессии. В данном случае преобразованием, которое приводит уравнение регрессии к линейному виду, является логарифмирование.

Логарифмические модели. Степенные зависимости между переменными широко распространены в практике эконометрического моделирования социально-экономических процессов. Рассмотрим уравнение парной регрессии вида

Y = AX^b где А и b— параметры модели.

Линеаризуем:

прологарифмируем обе части данного уравнения: ln(Y)=ln(A) + b*ln(X) = a+ b*ln(X), где а= ln(A) (*)

Спецификация, соответствующая (*) называется двойной логарифмической моделью:

ln(Y)= a+ b*ln(X)+u,

поскольку и эндогенная переменная, и регрессор используются в логарифмической форме.

Введем обозначения: Y*=ln(Y), X*=ln(X)

Y*=a+b*X+u

Получаем спецификацию линейной модели, к которой при соответствующем включении случайного возмущения применим МНК.

В моделях, нелинейных по оцениваемым параметрам, но приводимых к линейному виду, МНК применяется к преобразо­ванным уравнениям. Если в линейной модели и моделях, нели­нейных по переменным, при оценке параметров исходят из кри­терия min, то в моделях, нелинейных по оцениваемым параметрам, требование МНК применяется не к исходным дан­ным результативного признака, а к их преобразованным величи­нам, т. е.ln y, 1/y. Так, в степенной функции МНК применяется к преобразованному уравнению lny = lnα + β ln x ln ε. Это значит, что оценка параметров основывается на миними­зации суммы квадратов отклонений в логарифмах. Соответственно если в линейных моделях то в моделях, нелинейных по оцениваемым параметрам, . Вследствие этого оценка параметров оказываются несколько смещенной.

Пусть получена МНК-оценка моделиY*=a+b*X+u:

y*=ā + bx+u

(Sā) (Sb) (Su)

Коэффициенты исходной модели и их стандартные ошибки вычисляются с учетом замены по формулам:

А^=exp(ā)

SĀ= А^*Sā

Se, Sb̄, b̄ - такие же

Нелинейный МНК:

В общем случае оценка нелинейных по параметрам уравнений выполняется с помощью так называемого нелинейного метода наименьших квадратов (НМНК).

Обозначим нелинейное по параметрам уравнение регрессии f(X, ß) (X— матрица рсгрсссоров,ß — вектор параметров). Параметры уравнений в данном методе подбираются таким образом, чтобы максимально приблизить кривую f(X, ß) к результатам

наблюдений эндогенной переменной Y. Таким образом, здесь, как и в обычном

МНК, минимизируется сумма квадратов отклонений:

F= ² (**)

Если продифференцировать F по параметрам и приравнять производные нулю, то получим нелинейную систему нормальных уравнений. В случае линейного уравнения регрессии нормальные уравнения представляли собой систему линейных уравнений, решение которой не составляло труда.

Нелинейный метод наименьших квадратов сводится к задаче минимизации функции (**) нескольких переменных ß=(ß1,…,ßn)