Построение мультипликативной модели временного ряда

Имеются поквартальные данные об объеме выпуска товара фирмой за последние три года, представленные в таблице 4.

Шаг 1. Проведем выравнивание исходных уровней ряда мето­дом скользящей средней. Методика, применяемая на этом шаге, полностью совпадает с методикой аддитивной модели. Результаты расчетов оценок сезонной компоненты представлены в таблице 11.

Таблица 11 - Расчет оценок сезонной компоненты в мультипликативной модели.

t	Yt	Итого за четыре квартала	Скользящая средняя за четыре квартала	Центрированная скользящая средняя	Оценка сезонной компоненты
1	2	3	4	5	6
		-	-	-	-
			546,25	-	-
			573,75		1,277
			618,75	596,25	0,839
			683,75	651,25	0,789
			726,25		1,050
			772,5	749,375	1,301
				798,75	0,839
			881,25	853,125	0,826
			938,75		1,044
		-	-	-	-
					-

Шаг 2. Найдем оценки сезонной компоненты как частное от деления фактических уровней ряда на центрированные скользя­щие средние (графа 6 таблицы 10). Используем эти оценки для расче­та значений сезонной компоненты S (таблица 12). Для этого най­дем средние за каждый квартал оценки сезонной компоненты . Взаимопогашаемость сезонных воздействий в мультипликатив­ной модели выражается в том, что сумма значений сезонной ком­поненты по всем кварталам должна быть равна числу периодов в цикле. В нашем случае число периодов одного цикла (год) равно 4 (четыре квартала).

Таблица 12 - Расчет сезонной компоненты в мультипликативной модели

Показатели	Год	№ квартал, i
I	II	III	IV
		-	-	1,277	0,839
	0,798	1,05	1,301	0,839
	0,826	1,044	-	-
Итого за i-й квартал (за все года)		1,624	2,094	2,578	1,678
Средняя оценка сезонной компоненты для i-ого квартала, Si		0,812	1,047	1,289	0,839
Скорректированная сезонная компонента, Si		0,814	1,050	1,293	0,842

Имеем:

.

Определим корректирующий коэффициент: .

Определим скорректированные значения сезонной компо­ненты, умножив ее средние оценки на корректирующий коэффи­циент k.

где ,

Проверим условие равенства 4 суммы значений сезонной компоненты:

.

Получим следующие значения сезонной компоненты:

I квартал: ;

II квартал:

III квартал: ;

IV квартал: .

Занесем полученные значения в таблицу 13 для соответствующих кварталов каждого года (графа 3).

Шаг 3. Разделим каждый уровень исходного ряда на соответ­ствующие значения сезонной компоненты. Тем самым мы полу­чим величины (графа 4 таблицы 13), которые содержат только тенденцию и случайную компоненту.

Таблица 13 - Расчет выровненных значений Τ и ошибок Ε в мультипликативной модели.

t	Yt	Si	T·E= Yt : Si	T	T·S	E= Yt :(T·S)	E2	(E)2=(Yt –(T·S))2
		0,814	503,686	500,305	407,248	1,007	1,014	7,572
		1,05	533,333	549,69	577,175	0,970	0,941	294,963
		1,293	552,978	599,075	774,604	0,923	0,852	3552,634
		0,842	593,824	648,46	546,003	0,916	0,839	2116,305
		0,814	638,821	697,845	568,046	0,915	0,838	2308,402
		1,05	704,762	747,23	784,592	0,943	0,890	1988,402
		1,293	754,06	796,615	1030,02	0,947	0,896	3027,552
		0,842	795,724		712,332	0,941	0,885	1791,998
		0,814	866,093	895,385	728,843	0,967	0,936	568,507
		1,05	904,762	944,77	992,009	0,958	0,917	1764,714
		1,293	928,074	994,155	1285,44	0,934	0,871	7300,406
		0,842	1068,88	1043,54	878,661	1,024	1,049	455,367
Итого				9263,07	9284,98	11,444	10,927	25176,823

Шаг 4. Определим компоненту T в мультипликативной моде­ли. Для этого рассчитаем параметры линейного тренда, исполь­зуя уровни . Уравнение тренда имеет следующий вид:

,

.

Подставляя в это уравнение значения t = 1, ..., 16, найдем уровни T для каждого момента времени (графа 5 таблицы 13). График уравнения тренда приведен на рисунке 20.

Рисунок 20 – Объем выпуска товаров фирмой(фактические и

выровненные по мультипликативной модели значения уровней ряда)

Шаг 5. Найдем уровни ряда по мультипликативной модели, умножив уровни T на значения сезонной компоненты для соот­ветствующих кварталов. Графически значения представле­ны на рисунке 5.

Шаг 6. Расчет ошибки в мультипликативной модели произво­дится по формуле:

,

Численные значения ошибки приведены в графе 7 таблицы 13.

Для сравнения мультипликативной модели с другими моделями временного ряда можно использовать величину абсолютной ошибки:

,

Следовательно, ошибка ε мультипликативной модели составит:

.

Таким образом, доля объясненной дисперсии уровней ряда в мультипликативной модели составит .

Прогнозирование

Для прогнозирования из двух рассмотренных моделей необходимо выбрать ту, у которой ошибка ε наименьшая. Следовательно, при прогнозировании будет использоваться аддитивная модель, так как .

Таким образом, прогнозное значение уровня временного ряда в аддитив­ной модели есть сумма трендовой и сезонной компонент.

Объем товаров, выпущенного фирмой в течение первого по­лугодия ближайшего следующего, т. е. четвертого года, рассчитывается как сумма объемов выпущенных товаров в I и во II кварталах четвертого года, соответственно и . Для определения трендовой компоненты воспользуемся уравнением тренда:

.

Получим:

;

.

Значения сезонной компоненты равны: (I квартал); (II квартал). Таким образом,

;

.

Прогноз объема выпуска товаров фирмой на первое полу­годие 2006 года составит:

усл.ед.

Следует отметить, что для осуществления прогноза по мультипликативной модели, прогнозные значения F определяются как:

.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Афанасьев, В.Н.Анализ временных рядов и прогнозирование [Текст]: учебник./ Афанасьев, В.Н., Юзбашев, М.М. М.: Финансы и статистика, 2001. - 228с.

2. Белько, И.В., Криштапович Е.А. Эконометрика. Практикум. Учебное пособие [Текст] / Гревцов Паблишер. 2011. – 224 с.

3. Боровиков, В. STATISTICA. Искусство анализа данных на компьютере: для профессионалов [Текст]. 2е издание (+CD). –Спб.:Питер, 2003. – 688с.

4. Гришин, А.Ф.Статистические модели: построение, оценка, анализ; [Текст]: учебное пособие/ Гришин, А.Ф., Кочерова, Е.В. – М.: Финансы и статистика, 2005. – 416с.

5. Гусаров, В.М.,Кузнецова Е.И.Статистика: [Текст]: учебное пособие для ВУЗов. 2-е изд.- М.: Юнити-Дана, 2008. - 479 с.

6. Дубров, А.М.Многомерные статистические методы; Учебник [Текст]./ Дубров, А.М., Мхитарян, В.С., Трошин Л.И. – М.: Финансы и статистика, 2003. – 352с.

7. Елисеева, И.И., Юзбашев, М.М. Общая теория статистики. [Текст]: учебное пособие / Елисеева, И.И., Юзбашев, М.М. / Под ред. И.И. Елисеевой, 4 издание перераб. и доп.- М.: Финансы и статистика, 2003. - 480с.

8. Ефимова, М.Р. Общая теория статистики [Текст]/ Ефимова, М.Р., Петрова, Е.В., Румянцев, В.Н. - М.: ИНФРА-М, 2010. - 416 с.

9. Заварина, Е.С.Основы региональной статистики [Текст]: учебник/ Е.С. Заварина, К.Г. Чобану; под ред. Е.С. Завариной. – М.: Финансы и статистика, 2006. – 416с.

10. Кулагина, Г.О. Экономическая статистика [Текст]: учебно-методическое пособие./ Кулагина, Г.О., Бошкатов, Б.И., Квасова, Н.А. М.: Издательство МНЭПУ, 1999. - 116с.

11. Курс социально – экономической статистики[Текст]: учебник для ВУЗов /Под ред. Проф. М.Г. Назарова. – М.: Омега-Л, 2006. – 984 с.

12. Макарова, Н.В.Статистика в Excel [Текст]: учебное пособие / Макарова, Н.В., Трофимец, В.Я. – М.: Финансы и статистика, 2003. – 386с.

13. Микроэкономическая статистика [Текст]: учебник /Под ред. С.Д. Ильенковой. – М.: Финансы и статистика.2004. – 544с.

14. Общая теория статистики: Статистическая методология в изучении коммерческой деятельности [Текст]: учебник / А.И. Харламов, В.Т. Бабурин и др. Под ред. А.А. Спирина, - М.: Финансы и статистика, 1994. - 296с.

15. Практикум по эконометрике. / учеб. пособие / И.И. Елисеева, С.В. Курышева, Н.М. Гордеенко и др.; под ред.И.И. Елисеевой. – 2-е изд., прераб. и доп. - М.: Финансы и статистика, 2008. – 344 с.

16. Салин, В.Н. Курс теории статистики для подготовки специалистов финансово-экономического профиля [Текст]: учебник / Салин В.Н. Чурилова Э.Ю.. – М.: Финансы и статистика, 2006. – 480с.

17. Социально – экономическая статистика [Текст]: учебник для ВУЗов /Под ред. Проф. Б.И. Башкатова. – М.: ЮНИТА-ДАНА, 2002.-703с.

18. Справочник по прикладной статистике. В 2-х т., [Текст], под ред. Э. Ллойда, У. Ледермана, Ю.Н. Тюрина - М.: Финансы и статистика, 1989, 1990. – 276 с., 293с.

19. Статистика [Текст]: учебник/И.И. Елисеева, И.И. Егорова и др./ Под ред. Проф. И.И. Елисеевой. – М.: ТК Велби, издательство Проспект, 2003. - 448с.

20. Теория статистики. [Текст]/ Под ред. проф. Г.А. ГромыкоМ.: ИНФРА-М, 2000. - 414 с. - (Серия "Высшее образование).

21. Теория статистики, [Текст]: учебник /Р.А. Шмойлова, В.Г. Минашкин, Н.А. Садовникова, Е.Б. Шувалова./Под ред. Р.А. Шмойловой. 4е изд., перераб. и доп. – М.: Финансы и статистика, 2004. – 656с.

22. Теория статистики с основами теории вероятности. [Текст]: учеб. пособие / Под ред. Елисеевой И.И., М.: ЮНИТИ, 2001. - 446 с.

23. Тюрин, Ю.Н.,Макаров, А.А. Анализ данных на компьютере. [Текст] / Тюрин, Ю.Н., Макаров, А.А. / Под ред. В.Э. Фигурнова. - М.: ИНФРА, Финансы и статистика, 2005. - 384 с., ил.

24. Шмойлова, Р.А.и др. Практикум по теории статистики [Текст]: учебное пособие /Р.А. Шмойлова, В.Г. Минашкин, Н.А. Садовникова/Под ред. Р.А. Шмойловой – 2е издание, перераб. и доп. – М.: Финансы и статистика, 2005. - 576с.

25. Эконометрика [Текст]: учебник/ И.И. Елисеева, С.В. Курышева, Т.В. Костеева и др.; /Под ред. И.И. Елисеевой. – 2е издание, перераб. и доп. – М.: Финансы и статистика, 2005. – 576с.

26. Эконометрика [Текст]: учебник / Новиков А.И. – М.: Дашков и К, 2012. – 224 с.

27. Яглом, А.М. Корреляционная теория стационарных случайныхфункций (с примерами из метеорологии) [Текст] // Гидрометеоиздат. 1981. - 280с.

28. Яновский, Л.П. Введение в эконометрику: учебное пособие / Л.П. Яновский, А.Г. Буховец; под ред. Л.П. Яновского. – 3-е изд., доп. – М.: КНОРУС, 2011. – 256 с.

.