Тепловые колебания атомов решетки

В твёрдых телах (кристаллах) атомы при любой температуре, включая 0^OК, совершают колебательные движения около положения, определяемого равенством сил притяжения и отталкивания, соответствующего минимальному движению частиц. С увеличением температуры амплитуды и энергии этих колебаний увеличиваются. Т.к. все атомы кристалла связаны между собой, то любое изменения положения одного из атомов приведёт к соответственному изменению положения всех остальных. Этот процесс подобен процессу распространения звуковых волн в твёрдом теле. Все возможные колебания сильно связных между собой можно представить как совокупность взаимодействующих упругих волн различной длины, распространяющихся по всему объему кристалла. Длина волны наиболее коротких колебаний равна удвоенному расстоянию между атомами, а длинных – удвоенной длине кристалла. Т.к. твёрдое тело ограничено по размерам, то при данной температуре устанавливается стационарное состояние колебаний, представляющее собой суперпозицию стоячих волн. Механизм образования этих волн аналогичен механизму акустических колебаний, поэтому их называют акустическими. Скорость распространения тепловых колебаний равна скорости звука в данном материале.

В кристаллах (решетках), элементарные ячейки которых содержат по одному атому, наблюдаются акустические (низкочастотные) колебания. В сложных кристаллах, элементарные ячейки которых содержат несколько атомов, возможно возбуждение оптических колебаний. Такие колебания возникают в результате различия расстояний между атомами с одинаковой массой, либо в результате различия масс атомов, составляющих решётку. Они более высокочастотные. Схематически изображение колебаний частиц в двухатомной линейной решётке, иллюстрирующее различие между оптическими и акустическими колебаниями, имеет вид:

Акустические колебания. Оптические колебания.

Рис. 1.7. Схематическое изображение колебаний частиц в двухатомной линейной решётке.

В бесконечно длинной волне акустической ветви колебаний атомы движутся синхронно и в любой момент времени их отклонения от положения равновесия одинаковы, т.е. ячейки сегментируются как одно целое.

В бесконечно длинной волне оптической ветви колебаний ячейки смещаются в противоположных направлениях, они колеблются в противофазе так что центр тяжести такой пары атомов остаётся неподвижным. Кристаллы Si и Ge имеют 2 базисных атома (с координатами 0,0,0 и ¼,¼,¼), поэтому колебательный спектр имеет 2 составляющие – оптическую и акустическую. При низких температурах возбуждается только длинноволновые акустические колебания, при более высоких возникают все акустические колебания. Оптические колебания возможны только при высоких температурах.

w_min<w<w_max;

Минимальная частота колебаний атомов – w_min = V/2L

Максимальная частота колебания атомов – w_max = V/2а, где

V – скорость распространения колебаний;

a – период кристаллической решётки;

L – размер кристалла.

Вместо w_max спектр колебания принято описывать характеристической температурой (или температурой Дебая - Q).

;

Энергия каждого теплового колебания квантована! Квант энергии ħω_q носит название кванта энергии колебаний решётки или фонона. E_фон = ħω_q Введения понятия фононов позволяет рассматривать любое твёрдое тело как ящик, в котором заключён газ фононов. Фононы, как частицы обычного газа, движутся от стенки к стенке такого газа, сталкиваются друг с другом, в результате взаимодействия фононы могут рождаться и исчезать. Газ фононов –это не обычный газ. Число фононов в твердом теле не постоянно. Фононов тем больше, чем выше температура, а при приближении к нулю их число стремится к нулю.

Среднее число фононов <n> с энергией ħω_q при тепловом равновесии в одном квантовом состоянии, т.е. в ячейке фазового пространства объёмом h³ с энергией ħω_q задаваться соотношением (распределение Бозе-Эйнштейна):

Видно, что число фононов зависит от температуры.

При высоких температурах, когда T>>ħω_q/k, число фононов в одной ячейке фазового пространства:

а средняя энергия:

.

При низких температурах, когда T<<ħω_q :

При абсолютном нуле фононов нет, хотя атомы совершают так называемые нулевые колебания, которые определяют нулевую энергию решётки, равную ½ħω_q

Рис. 1.7. Колебательные спектры решетки германия, кремния и арсенида галлия. LA и TA – поперечные и продольные акустические колебания; TO и LO – поперечные и продольные оптические колебания.