Средняя и предельная ошибки выборочного среднего
Ошибкой выборочного среднего или ошибкой выборки называется абсолютная величина разности генерального и выборочного средних. Так как генеральное среднее неизвестно, ошибку выборки вычислить нельзя, но ее можно оценить с помощью предельной ошибки:
, (1.10.15)
где
- предельная ошибка выборки;
- средняя ошибка, вычисляемая по формуле, зависящей от вида выборки;
- доверительный коэффициент, значение которого находится по заданной вероятности р в специальных таблицах.
Доверительный интервал, в котором с вероятностью р находится генеральное среднее, имеет вид:
. (1.10.16)
Средняя ошибка 
малой выборки вычисляется по формуле
, (1.10.17)
где 
дисперсия малой выборки, вычисляемая по формуле
. (1.10.18)
Предельная ошибка малой выборки вычисляется по формуле (1.10.15), где коэффициент 
находится по уровню значимости 
и числу 
в табл. П4.
Пример 1.10.4. При проверке качества партии колбасы получены следующие данные о процентном содержании поваренной соли в 10 пробах: 4,3; 4,2; 3,8; 4,3; 3,7; 3,9; 4,5; 4,4; 4,0; 3,9. Найдем с вероятностью 0,95 границы, в которых находится средний процент содержания поваренной соли в партии колбасы.
Составим расчётную табл. 1.10.10. По суммам в итоговой строке табл. 1.10.10 вычислим выборочную среднюю, выборочную дисперсию и среднюю ошибку выборки:
, 
,
.
Таблица 1.10.10
Расчетные показатели
| i |  (%) |  |  |
| 4,3 | 0,2 | 0,04 | |
| 4,2 | 0,1 | 0,01 | |
| 3,8 | 0,3 | 0,09 | |
| 4,3 | 0,2 | 0,04 | |
| 3,7 | – 0,4 | 0,16 | |
| 3,9 | – 0,2 | 0,04 | |
| 4,5 | 0,4 | 0,16 | |
| 4,4 | 0,3 | 0,09 | |
| 4,0 | –0,1 | 0,01 | |
| 3,9 | – 0,2 | 0,04 | |
 | 41,0 | 0,68 |
В табл. П4 по уровню значимости 
и числу 
находим доверительный коэффициент: 
=2,262. Вычислим предельную ошибку выборки: 
. Найдем доверительный интервал (1.10.16):
или 
.
Таким образом, с вероятностью 0,95 можно утверждать, что в партии колбасы содержание поваренной соли находится в пределах от 3,9% до 4,3%.
1.10.6. Вычисление предельной ошибки (пример 1.10.4)
Предельную ошибку малой выборки можно найти, применяя Excel (рис. 1.10.6). Для этого надо:
1) в столбце ячеек записать выборку;
2) в меню СЕРВИС выбрать ОПИСАТЕЛЬНАЯ СТАТИСТИКА;
3) указать уровень надежности (доверительную вероятность);
4) снять остальные флажки, указать ячейку выходного интервала и выбрать ОК.
Упражнение 1.10.7. Отобрано 10 рабочих цеха для определения среднего времени выполнения определенной операции рабочими цеха. Выборочное среднее время оказалось равным 10,4 мин, а выборочное среднеквадратическое отклонение – 2 мин. Найдите границы, в которых с вероятностью 0,99 находится генеральная средняя.
Приведем следующие формулы для вычисления средней ошибки m большой выборки ( 
):
1) средняя ошибка m случайной повторной или бесповторной выборки вычисляется соответственно по формуле
или 
; (1.10.19)
2) средняя ошибка m типической повторной или бесповторной выборки вычисляется соответственно по формуле
или 
, (1.10.20)
где 
– средняя генеральных групповых дисперсий;
3) средняя ошибка m серийной повторной или бесповторной выборки вычисляется соответственно по формуле
или 
, (1.10.21)
где 
– генеральная межгрупповая (межсерийная) дисперсия;
r и R - число серий соответственно в выборке и в генеральной совокупности.
Генеральная дисперсия 
связана с выборочной дисперсией 
соотношением
. (1.10.22)
При больших значениях n генеральная дисперсия приближенно равна выборочной дисперсии.
Предельная ошибка 
большой выборки вычисляется по формуле (1.10.15), где коэффициент определяется из соотношения 
.
Напомним, что выборочное среднее значение альтернативного признака равно выборочной доле единиц в выборке, обладающих этим признаком ( 
), а выборочная дисперсия равна произведению 
.
Пример 1.10.5.При проверке качества хлебобулочных изделий проведено 5%-е выборочное обследование партии нарезных батонов. Из 100 отобранных в выборку батонов 90 батонов оказались стандартными. Средний вес одного батона в выборке составил 500,5 г при среднеквадратическом отклонении 15,4 г. Найдем с вероятностью 0,95 доверительные интервалы для доли стандартных батанов и среднего веса одного батона во всей партии.
По условию выборочная доля:
.
Было проведено 5%-е выборочное обследование, следовательно, во всей партии - 2000 батонов. Так как выборка бесповторная механическая или случайная, средняя ошибка выборочной доли равна:
.
Из соотношения 
, используя табл. П2, найдем доверительный коэффициент: 
.
Вычислим предельную ошибку: 
.
Найдем доверительный интервал (1.10.16):
или 
.
Таким образом, с вероятностью 0,95 можно утверждать, что доля стандартных батонов во всей партии батонов находится в интервале от 0,84 до 0,96.
Вычислим среднюю и предельную ошибки выборочного среднего веса одного батона:
1,5 и 
.
Найдем доверительный интервал (1.10.16):
или 
.
Таким образом, с вероятностью 0,95 можно утверждать, что средний вес одного батона во всей партии батонов находится в интервале от 497,6 г до 503,4 г.
Упражнение 1.10.8. Дано распределение пачек чая по весу в выборке из партии чая (табл. 1.10.11).
Таблица 1.10.11