Средняя арифметическая. Средняя арифметическая простая (невзвешенная) равна сумме отдельных значений
Средняя арифметическая простая (невзвешенная) равна сумме отдельных значений признака, деленной на число этих значений. Отдельные значения признака называют вариантами и обозначают через х ( х1, х2, х3, ... , хn); число единиц совокупности обозначают через n, среднее значение признака - через 
. Следовательно, средняя арифметическая простая равна
= 
= 
Имеются следующие данные о производстве рабочими продукции А за смену:
| № раб. | ||||||||||
| Выпущено изделий за смену |
В данном примере варьирующий признак - выпуск продукции за смену.
Численные значения признака (16, 17 и т. д.) называют вариантами. Определим среднюю выработку продукции рабочими данной группы
= 
= 
= 17,8
Простая средняя арифметическая применяется в случаях, когда имеются отдельные значения признака, т.е. данные не сгруппированы. Если данные представлены в виде рядов распределения или группировок, то средняя исчисляется иначе.
Средняя гармоническая.
Наряду со средней арифметической, в статистике применяется средняя гармоническая величина, обратная средней арифметической из обратных значений признака. Как и средняя арифметическая, она может быть простой и взвешенной.
Пример 6.
Бригада токарей была занята обточкой одинаковых деталей в течение 8-часового рабочего дня. Первый токарь затратил на одну деталь 12 мин, второй 15 мин., третий – 11, четвертый - 16 и пятый - 14мин. Определите среднее время, необходимое на изготовление одной детали.
На первый взгляд кажется, что задача легко решается по формуле средней арифметической простой:
= = 
= 13,6
отдельными рабочими было изготовлено различное число деталей. Для определения числа деталей, изготовленных, каждым рабочим, воспользуемся следующим соотношением:
Среднее время, затраченное = все затраченное время
на одну деталь число деталей
Мода
Характеристиками вариационных рядов, наряду со средними, являются мода и медиана.
Мода - это величина признака (варианта), наиболее часто повторяющаяся в изучаемой совокупности. Для дискретных рядов распределения модой будет значение варианта с наибольшей частотой
Распределение проданной обуви по размерам характеризуется следующими показателями:
| Размер обуви | и выше | ||||||||||
| Число пар в % к итогу | - | - |
В этом ряду распределения мода равна 41. Именно этот размер обуви пользовался наибольшим спросом покупателей. Для интервальных рядов распределения с равными интервалами мода определяется по формуле:
М0 = 
+ 
* 
где - начальное значение интервала, содержащего моду; - величина модального интервала; 
-частота модального интервала; 
- частота интервала, предшествующего модальному; 
- частота интервала, следующего за модальным.
Медиана - это варианта, расположенная в середине вариационного ряда. Если ряд распределения дискретный и имеет нечетное число членов, то медианой будет варианта, находящаяся в середине упорядоченного ряда (упорядоченный ряд - это расположение единиц совокупности в возрастающем или убывающем порядке).
Например, стаж пяти рабочих составил 2, 4, 7,8, 10 лет. В таком упорядоченном ряду медиана - 7 лет. По обе стороны от нее находится одинаковое число рабочих.
Если упорядоченный ряд состоит из четного числа членов, то медианой будет средняя арифметическая из двух вариант, расположенных в середине ряда. Пусть теперь будет не пять человек в бригаде, а шесть, имеющих стаж работы 2, 4, 6, 7, 8 и 10 лет. В этом ряду имеются две варианты, стоящие в центре ряда. Это варианты б и 7. Средняя арифметическая из этих значений и будет медианой ряда:
Me = (6 + 7) : 2 = 6,5 лет.
Показатели вариации.
Различие индивидуальных значений признака внутри изучаемой совокупности в статистике называется вариацией признака.
Она возникает в результате того, что его индивидуальные значения складываются под совокупным влиянием разнообразных факторов, которые по-разному сочетаются в каждом отдельном случае.
Средняя величина — это абстрактная, обобщающая характеристика признака изучаемой совокупности, но она не показывает строения совокупности, которое весьма существенно для ее познания. Средняя величина не дает представления о том, как отдельные значения изучаемого признака группируются вокруг средней, сосредоточены ли они вблизи или значительно отклоняются от нее. В некоторых случаях отдельные значения признака близко примыкают к средней арифметической и мало от нее отличаются. В таких случаях средняя хорошо представляет всю совокупность.
В других, наоборот, отдельные значения совокупности далеко отстают от средней, и средняя плохо представляет всю совокупность.
Колеблемость отдельных значений характеризуют показатели вариации.
Термин "вариация" произошел от латинского varatio -"изменение, колеблемость, различие" Однако не всякие различия принято называть вариацией. Под вариацией в статистике понимают такие количественные изменения величины исследуемого признака в пределах однородной совокупности, которые обусловлены перекрещивающимся влиянием действия различных факторов. Различают вариацию признака: случайную и систематическую.
Анализ систематической вариации позволяет оценить степень зависимости изменений в изучаемом признаке от определяющих ее факторов. Например, изучая силу и характер вариации в выделяемой совокупности, можно оценить, насколько однородной является данная совокупность в количественном, а иногда и качественном отношении, а следовательно, насколько характерной является исчисленная средняя величина. Степень близости данных отдельных единиц xi к средней измеряется рядом абсолютных, средних и относительных показателей. Абсолютные и средние показатели вариации и способы их расчета.
Для характеристики совокупностей и исчисленных величин важно знать, какая вариация изучаемого признака скрывается за средним
Для характеристик колеблемости признака используется ряд показателей. Наиболее простой из них - размах вариации. Размах вариации - это разность между наибольшим (xmах) и наименьшим (xmin) значениями вариантов
R = xmах - xmin
Число деталей, изготовленных каждым рабочим, определяется отношением всего времени работы к среднему времени, затраченному на одну деталь. Тогда среднее время, необходимое для изготовления одной детали, равно:
= 
= 
= 13,3
Это же решение можно представить иначе:
= 
= 
= 13,3
Таким образом, формула для расчета средней гармонической простой будет иметь вид:
= 
= 
Пример 7.
Издержки производства и себестоимость единицы продукции А по трем заводам характеризуются следующими данными:
| Номер завода | Издержки производства, тыс.руб. | Себестоимость единицы продукции, руб. |
| ПО |
Исчислим среднюю себестоимость изделия по трем заводам.Как и прежде, главным условием выбора формы средней является экономическое содержание показателя и исходныеданные
Издержки производства
Средняя себестоимость = ________________________
единицы продукции ( ) Количество продукции
= 
= 22,0 руб.
Характеристиками вариационных рядов, наряду со средними, являются мода и медиана.
Мода - это величина признака (варианта), наиболее часто повторяющаяся в изучаемой совокупности. Для дискретных рядов распределения модой будет значение варианта с наибольшей частотой
Распределение проданной обуви по размерам характеризуется следующими показателями:
Группы предприятий по объему товарооборота, млн.руб (  ) | Число предприятий (  ) |
| 90-100 | |
| 100-110 | |
| 110-120 | |
| 120-130 | |
| ИТОГО |
Определяем показатель размаха вариании:11 = 130 - 90 = 40 млн. руб. Этот показатель улавливает только крайние отклонения и не отражает отклонений всех вариант в ряду. Чтобы дать обобщающую характеристику распределению отклонений, исчисляют среднее линейное отклонение d, которое учитывает различие всех единиц изучаемой совокупности.
Среднее линейное отклонение определяется как средняя арифметическая из отклонений индивидуальных значений от средней, без учета знака этих отклонений:
d = 
= 