Многофакторный корреляционный и регрессионный анализ

Как известно, явления общественной жизни складываются под воздействием не одного, а целого ряда факторов.

Многофакторный корреляционный и регрессионный анализ позволяет оценить меру влияния на исследуемый результативный показатель каждого из включенных в модель (уравнение) факторов при фиксированном положении (на среднем уровне) остальных факторов. Он позволяет также при любых возможных сочетаниях факторов с определенной степенью точности найти теоретическое значение этого показателя (важным условием является отсутствие между факторами функциональной связи).

Математически задача формулируется следующим образом. Требуется найти аналитическое выражение, наилучшим образом отражающее установленную теоретическим анализом связь независимых признаков с результативным, т.е. функцию:

В условиях использования ЭВМ выбор аппроксимирующей математической функции осуществляется перебором решений, наиболее часто применяемых в анализе корреляции уравнений регрессии.

После выбора типа аппроксимирующей функции приступают к многофакторному корреляционному и регрессионному анализу, задачей которого является построение уравнения множественной регрессии и нахождение его неизвестных параметров.

Параметры уравнения множественной регрессии, как и в случае парной регрессии, находят по способу наименьших квадратов.

Для расчета параметров простейшего уравнения множественной линейной двухфакторной регрессии, которая имеет вид:

где _ расчетные значения зависимой переменной (результативного признака);

x1, х2 _ независимые переменные (факторные признаки);

a0, a1, a2 _ параметры уравнения,

строится следующая система нормальных уравнений:

(8.5)

Параметры этой системы могут быть найдены методом К. Гаусса.

Парные коэффициенты корреляции применяются для измерения тесноты связи между двумя из рассматриваемых переменных (без учета их взаимодействия с другими переменными). Методика расчета таких коэффициентов и их интерпретация аналогичны методике расчета линейного коэффициента корреляции в случае однофакторной связи. Если известны средние квадратические отклонения анализируемых величин, то парные коэффициенты корреляции можно рассчитать проще, по следующим формулам:

(8.6)

(8.7)

. (8.8)

Частные коэффициенты корреляции. Однaкo в реальныx условиях все переменные, как правило, взaимoсвязaны. Тeснота этой связи определяется частными кoэффициентами корреляции, которые характеризуют степень и влияние одного из аргументов на функцию при условии, что остальные независимые переменные закреплены на постоянном уровне. В зависимости от количества переменных, влияние которых исключается, частные коэффициенты корреляции могут быть различного порядка: при исключении влияния одной переменной получаем частный коэффициент корреляции первого порядка; при исключении влияния двух переменных _ второго порядка и т.д. Парный коэффициент корреляции между функцией и аргументом обычно не равен соответствующему частному коэффициенту.

Частный коэффициент корреляции первого порядка между признаками x1 и y при исключении влияния признака х2 вычисляют по формуле:

(8.9)

Зависимость y от х2 при исключенном влиянии x1 рассчитывают по формуле:

(8.10)

Можно рассчитать взаимосвязь факторных признаков при исключении влияния результативного признака:

(8.11)

где r _ парные коэффициенты корреляции между соответствующими признаками.

Показателем тесноты связи, устанавливаемой между результативными и двумя или более факторными признаками, является совокупный коэффициент множественной корреляции _ . В случае линейной двухфакторной связи совокупный коэффициент множественной корреляции может быть рассчитан по формуле:

(8.12)

где r _ линейные коэффициенты корреляции (парные); подстрочные индексы показывают, между какими признаками они исчисляются.

Совокупный коэффициент множественной корреляции измеряет одновременное влияние факторных признаков на результативный. Его значения находятся в пределах _1 до +1. Чем меньше наблюдаемые значения изучаемого показателя отклоняются от линии множественной регрессии, тем корреляционная связь является более интенсивной, а следовательно, значение R ближе к единице.

Совокупный коэффициент множественной детерминации. Величина R2 называется совокупным коэффициентом множественной детерминации . Она показывает, какая доля вариации изучаемого показателя объясняется влиянием факторов, включенных в уравнение множественной регрессии. Значение совокупного коэффициента множественной детерминации находится в пределах от 0 до 1. Поэтому, чем ближе R2 к единице, тем вариация изучаемого показателя в большей мере характеризуется влиянием отобранных факторов.

Динамические ряды